Чому в головній теоремі існує умова регулярності?

Я читав « Вступ до алгоритмів » Кормена та ін. і я читаю твердження основної теореми, починаючи з сторінки 73 . У випадку 3 також існує умова регулярності, яку необхідно виконати, щоб використовувати теорему:

... 3. Якщо

$\qquad \displaystyle f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \varepsilon})$

для деякої постійної і якщо $\varepsilon > 0$

$\qquad \displaystyle af(n/b) \leq cf(n)$ [ це умова регулярності ]

для деякої постійної і для всіх досить великих , тоді .. $c < 1$ $n$

Хтось може мені сказати, навіщо потрібна умова регулярності? Як теорема виходить з ладу, якщо умова не виконується?

— Рафаель
джерело

чи можете ви написати, що це за справа, і яка норма регулювання?

Я не маю для вас остаточної відповіді, але, схоже, якщо умова регулярності не дотримується, тоді підпрограми забирають все більше часу, тим меншими вони є, тож ви отримуєте нескінченну складність.

Я не впевнений, що умова закономірності необхідна для виконання висновку теореми, але я вважаю, що це необхідно для використовуваного доказу. З умовами регулярності у вас є досить простий доказ, без, він, принаймні, був волохатим.

копія на Теоретичні інформатики

— Kaveh

Відповіді:

Не суворий доказ, а пояснення «зверху голови».

Уявіть , повторення у вигляді дерева. Третій випадок охоплює сценарій, коли кореневий вузол домінує над робочим часом асимптотично, тобто велика частина роботи виконується в лугкому вузлі на вершині дерева рецидивів. Тоді час роботи - . $aT(n/b)+f(n)$ $\Theta(f(n))$

Щоб переконатися, що корінь справді виконує більше роботи, вам потрібно

. $a f(n/b) \leq cf(n)$

Це говорить про те, що (обсяг виконаної роботи в корені) повинен бути принаймні таким же великим, як сума роботи, виконаної на нижчих рівнях. (Повторення називається раз на входу.) $f(n)$ $a$ $n/b$

Наприклад, для повторення робота на рівні нижче кореня на чверть більша і виконується лише двічі проти тому корінь домінує . $T(n)=2T(n/4)+n$ $(n/4+n/4)$ $n$

Але що робити, якщо функція не відповідала умові регулярності? Наприклад, замість ? Тоді робота, проведена на нижчих рівнях, може бути більшою, ніж робота в корені, тому ви не впевнені, що корінь домінує. $\cos(n)$ $n$

— Нефункціональний кіт
джерело

Я використовував приємніше форматування для вашого математичного тексту. Ви можете натиснути посилання "відредаговано" і подивитися, що я зробив.

— Juho

Нехай і , так що Для застосування випадку 3 нам знадобиться (для деяких ) і умова регулярності, $a = 1$ $b = 2$

Т (2^{н}) = \sum_{к = 0}^{н} f (2^{к}) .

$T(2^n) = \sum_{k=0}^n f(2^k).$

f (n) = Ω (n^{ϵ})

$f(n) = \Omega(n^\epsilon)$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

f (n / 2) \leq (1 - δ) f (n)

$f(n/2) \leq (1-\delta) f(n)$

δ > 0

$\delta > 0$

f (n) = n (2 - \cos n)

$f(n) = n(2-\cos n)$

f (2^{n}) = 2^{2^{⌊ \log_{2} n ⌋}} > 2^{2^{\log_{2} n - 1}} = 2^{n / 2} .

$f(2^n) = 2^{2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}} > 2^{2^{\log_2n-1}} = 2^{n/2}.$

n = 2^{m + 1} - 1

$n = 2^{m+1}-1$

T (2^{n}) = \sum_{k = 0}^{m} \sum_{t = 2^{k}}^{2^{k + 1} - 1} 2^{2^{k}} = \sum_{k = 0}^{m} 2^{2^{k} + k} = Θ (2^{2^{m} + m}), f (2^{n}) = 2^{2^{m}} .

$T(2^n) = \sum_{k=0}^m \sum_{t=2^k}^{2^{k+1}-1} 2^{2^k} = \sum_{k=0}^m 2^{2^k+k} = \Theta(2^{2^m+m}), \quad f(2^n) = 2^{2^m}.$ So it's not true that

T (2^{n}) = Θ (f (2^{n}))

$T(2^n) = \Theta(f(2^n))$ .

There is a more general theorem, Akra-Bazzi, in which the regularity condition is replaced by an explicit quantity that comes into the result.

— Yuval Filmus
джерело

Вибачте за відновлення цієї старої відповіді. Чи можете ви пояснити, чому ваша функція f порушує умову регулярності?

— Maiaux

Sometimes

f (n / 2) = f (n)

$f(n/2) = f(n)$ .

— Yuval Filmus