У ролях булевих, для цілого лінійного програмування

Я хочу висловити таке обмеження в цілій лінійній програмі:

у = {\begin{cases} 0 & якщо х = 0 \\ 1 & якщо х \neq 0. \end{cases}

$y = \begin{cases} 0 &\text{if } x=0\\ 1 &\text{if } x\ne 0. \end{cases}$

У мене вже є цілі змінні $x,y$ і мені обіцяють, що . Як я можу виразити вищевказане обмеження у формі, придатній для використання з цілим лінійним розв'язувачем лінійного програмування? $-100 \le x \le 100$

Це, ймовірно, вимагатиме введення деяких додаткових змінних. Які нові змінні та обмеження мені потрібно додати? Чи можна це зробити чисто з однією новою змінною? Два?

Це рівнозначно, це питання про те, як застосувати обмеження

у \neq 0 якщо і тільки якщо х \neq 0.

$y \ne 0 \text{ if and only if } x \ne 0.$

в контексті, де я вже маю обмеження, що означають і . $|x| \le 100$ $0 \le y \le 1$

(Моя мета - виправити помилку в https://cs.stackexchange.com/a/12118/755 .)

linear-programming integer-programming

— DW
джерело

Що ви пробували? Ви спробували опрацювати деякі приклади, щоб побачити, чи бачите ви візерунок? Якщо так, чи спробували ви здогадатися, а потім спробували довести це?

— Бріка

Хе! Я бачу, що ти там робив , @Brika. Якщо вам цікаво побачити те, що я спробував, дивіться тут , а також це пояснення, чому це насправді було неправильно . Якщо ви хочете побачити мою наступну спробу, дивіться мою відповідь . Дякую за прочитання моїх старих запитань, і якщо їх можна буде покращити на майбутнє, я хотів би почути будь-які пропозиції, які у вас можуть бути!

— DW

Це дуже добре. ;)

— Бріка

Відповіді:

Я думаю, що я можу це зробити з однією додатковою бінарною змінною $\delta \in \{0,1\}$ :

- 100 у \leq х \leq 100 у

$-100y \le x \le 100 y$

0,001 у - 100.001 δ \leq х \leq - 0,001 у + 100.001 (1 - δ)

$0.001y-100.001\delta \le x \le -0.001y+100.001 (1-\delta)$

Оновлення

Це передбачає, що $x$ є суцільною змінною . Якщо обмежимо $x$ на цілочисельну величину , то друге обмеження можна спростити до:

у - 101 δ \leq х \leq - у + 101 (1 - δ)

$y-101\delta \le x \le -y+101 (1-\delta)$

— Ервін Калвелаген
джерело

Я перевірив це правильно, випробувавши його вичерпно за допомогою невеликої програми. Дякую за рішення!

— DW

@ErwinKalvelagen, чи не могли б ви пояснити свою логіку дельтою бінарної змінної, наприклад, для більш загального випадку, якщо y = {a: x> 0, b: x <0}.

— Нік

@ Nick Двійкова змінна використовується для моделювання конструкції "АБО". Дивіться тут відповідь на своє запитання.

— Ервін Калвелаген

@ErwinKalvelagen, чудова відповідь, я намагався застосувати ваш підхід до мого запитання тут cs.stackexchange.com/questions/64794/… .

— Нік

@GonzaloSolera Насправді я помилявся: я вважав, що

є суцільною змінною. Дійсно, коли

має ціле число, ми можемо перемістити 0,001 до 1, як ви запропонували.

x

$x$

x

$x$

— Ервін Калвелаген

Наступне не дуже, але це працює. Нехай , у конкретному випадку у питанні. Тоді ми маємо такі обмеження. $0 \leq x \leq N$ $N=100$

$0 \leq z_1, z_2, z \leq 1$
$x - N(1-z_1) \leq 0$
$-x -Nz_1 \leq -1$
$-x -N(1-z_2) \leq 0$
$x -Nz_2 \leq -1$
$z_1 + z_2 - 1 \leq z$
$z \leq z_1$
$z \leq z_2$

Інтуїція така. . Це кодується в обмеженнях 2 і 3. Аналогічно обмеження 4 і 5 кодують $z_1 = 1 \iff x \leq 0$ . Останні три обмеження виражають . $z_2 = 1 \iff x \geq 0$ $z = z_1 \land z_2$

— Прамод
джерело

Це, здається, має помилку. Я припускаю, що ви маєте намір

. Однак для

це все-таки неправильно : ми хочемо в цьому випадку примусити

(

), але вибору для

який задовольняє всі рівняння, не існує, як рівняння

вимагає

(тобто

). Таким чином, ця ILP дає неправильний результат, коли

z = 1 - y

$z=1-y$

x = 100

$x=100$

y = 1

$y=1$

z = 0

$z=0$

z_{1}, z_{2}

$z_1,z_2$

x - N z_{2} \leq - 1

$x-Nz_2 \le -1$

x < N

$x<N$

x \leq 99

$x \le 99$

: ми хочемо

x = 99

$x=99$

, але у нас

. Крім тогонеобхідний діапазон для

, як зазначено в питанні

,НЕ

y = 1

$y=1$

y = 0

$y=0$

x

$x$

- N \leq x \leq N

$-N \le x \le N$

0 \leq x \leq N

$0 \le x \le N$

— DW

Ось рішення, яке використовує дві тимчасові змінні. Нехай - цілі нульові або одиничні змінні, із задуманим значенням, що якщо , якщо , . Вони можуть бути виконані з такими обмеженнями: $t,u$ $t=1$ $x \ge 0$ $u=1$ $x \le 0$ $y=\neg(t \land u)$

\begin{aligned} 0 & \leq т, у, у \leq 1 \\ 1 + х & \leq 101 т \leq 101 + х \\ 1 - х & \leq 101 у \leq 101 - х \\ т + у - 1 & \leq 1 - у \\ 1 - у & \leq т \\ 1 - у & \leq у \end{aligned}

$\begin{align*} 0 &\le t,u,y \le 1\\ 1+x &\le 101t \le 101 + x\\ 1-x &\le 101u \le 101-x\\ t+u-1 &\le 1-y\\ 1-y &\le t\\ 1-y &\le u \end{align*}$

— DW
джерело

На жаль, ця відповідь невірна. Це обмежить

по першій частині першого нетривіального обмеження , коли питання питає дано

. Хіба помилки на заборі не цікаві? (Дітто для

)

x \leq 99

$x \leq 99$

x \leq 100

$x \leq 100$

x \geq - 99

$x \geq -99$

— TLW

@TLW, дякую за те, що це спіймав! Я відредагував свою відповідь, щоб виправити помилку. Я вичерпно перевірив це за допомогою невеликої програми, і я думаю, це має бути правильним зараз.

— DW