Що таке бета-еквівалентність?

У сценарії, який я зараз читаю на обчисленні лямбда, бета-еквівалентність визначається так:

$\beta$ -еквівалентность є найменшою еквівалентності , який містить . $\equiv_\beta$ $\rightarrow_\beta$

Я поняття не маю, що це означає. Чи може хтось пояснити це простішими термінами? Може, з прикладом?

Мені це потрібно для леми, що випливає з теореми Церкви-Русера, кажучи

Якщо M N, то є L з M L і N L. $\equiv_\beta$ $\twoheadrightarrow_\beta$ $\twoheadrightarrow_\beta$

— магнатичний
джерело

Вибачте, якщо мова не ідеальна, я переклав цитати з німецької.

— магнатичний

Відповіді:

$\to_\beta$ - це ступінчасте відношення між термінами в $\lambda$ -calculus. Це відношення не є ні рефлексивним, ні симетричним, ні транзитивним. Відношення еквівалентності $\equiv_\beta$ - це рефлексивне, симетричне, транзитивне закриття $\to_\beta$ . Це означає

Якщо $M\to_\beta M'$ тоді $M\equiv_\beta M'$ .
Для всіх термінів $M$ , $M\equiv_\beta M$ має.
Якщо $M\equiv_\beta M'$ 'то $M'\equiv_\beta M$ .
Якщо $M\equiv_\beta M'$ і $M'\equiv_\beta M''$ , то $M\equiv_\beta M''$ .
$\equiv_\beta$ - найменше відношення, що відповідає умовам 1-4.

Більш конструктивно спочатку застосувати правила 1 і 2, потім повторити правила і знову і знову, поки вони не додадуть нових елементів у відношення. $3$ $4$

— Дейв Кларк
джерело

Добре дякую, я думаю, що я це зрозумів тоді. Моє перше припущення полягало в тому, що означає, що M можна якось зменшити до N, але це не обов'язково дотримуватися, оскільки вони, очевидно, також еквівалентні, якщо їх можна скоротити до того ж терміна. Зважаючи на ваш пункт 3, це може бути побудовано тоді, я думаю. Дякую, що дуже допомогло.

M \equiv_{β} N

$M \equiv_\beta N$

— магнатський

Хіба це відношення нескінченно велике? Чи не завжди я можу знайти термін L для терміна M, щоб ?

L \to_{β} M

$L \rightarrow_\beta M$

— магнатичний

Так є, але це не повинно бути проблематично. Чому ти шукаєш такий ?

L

$L$

— Дейв Кларк

Не знаю. Я просто сперечався зі своїм партнером, чи завжди це буде нескінченно багато. Дякуємо за пояснення. :)

— магнатичний

Це насправді теорія елементарних множин. Ви знаєте, що таке рефлексивне відношення, що таке симетричне відношення і що таке перехідне відношення, правда? Відношення еквівалентності - це таке, яке задовольняє всі три ці властивості.

Ви, напевно, чули про "перехідне закриття" відношення ? Ну, це не що інше, як мінімум Транзитивне ставлення , яке включає . Саме це означає термін "закриття". Аналогічно, можна говорити про "симетричне закриття" відношення , "рефлексивне замикання" відношення та про "еквівалентне закриття" відношення точно так само. $R$ $R$ $R$ $R$ $R$

Подумавши, ви можете переконати себе, що перехідне закриття - це . Симетричне закриття - . Рефлексивне закриття - (де - відношення тотожності). $R$ $R \cup R^2 \cup R^3 \cup \ldots$ $R \cup R^{-1}$ $R \cup I$ $I$

Ми використовуємо позначення для . Це рефлексивне транзитивне замикання в . Тепер зауважте, що якщо симетричний, кожне з відношень , , , , ... є симетричним. Отже, також буде симетричним. $R^*$ $I \cup R \cup R^2 \cup \ldots$ $R$ $R$ $I$ $R$ $R^2$ $R^3$ $R^*$

Отже, еквівалентне закриття - це перехідне закриття його симетричного замикання, тобто . Це являє собою послідовність кроків, деякі з яких - це кроки вперед ( ), а деякі - назад ( ). $R$ $(R \cup R^{-1})^*$ $R$ $R^{-1}$

Кажуть, що відношення має властивість Церква-Розсер, якщо еквівалентне закриття таке ж, як і складене відношення . Це являє собою послідовність кроків, в яких усі кроки вперед виходять першими, а потім всі кроки назад. Отже, властивість Церкви-Роззера говорить про те, що будь-яке перемежування кроків вперед і назад можна рівнозначно здійснити, виконавши перші кроки вперед і пізніше назад. $R$ $R^* (R^{-1})^*$

— Удай Редді
джерело

Якщо ви додали одне остаточне речення, яке стосується питання, це було б гарною відповіддю.

— Рафаель

Все настільки елементарно, що хтось закінчується і замислюється: "де насправді відповідь?"

— Марко Фаустінеллі