Чому потрібні рекурсивні типи як примітиви для доказів у системах залежного типу?

Я відносно новий в теорії типів і залежному програмуванні. Я вивчав обчислення конструкцій (CoC) та інших систем чистого типу. Мені особливо цікаво використовувати його як захист проміжного представлення для системи компілятора.

Я розумію , що (з) рекурсивні типи представимо , обчислювально , використовуючи в якості єдиного типу конструктора. Я, проте, читав, що їх не можна використовувати для побудови доказів за допомогою індукції (вибачте, я зараз не можу знайти!), Наприклад, що я не міг довести, що у звичайному CoC (навіть якщо вводиться як ). $\Pi$ $0\neq 1$ $\texttt{Nat}$ $\Pi(\mathbb{N}:*).\Pi(S:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}).\Pi(Z:\mathbb{N}).\mathbb{N}$

Я припускаю, що саме тому вони побудували обчислення індуктивних конструкцій (CIC). Це правильно? Але чому? Я не зміг знайти жодного матеріалу, який би пояснював, чому подібні докази не можуть бути представлені без використання (спільно) індуктивних типів як примітивів. Якщо це неправда, то навіщо їх додавати як примітиви в CIC?

type-theory dependent-types coq

— paulotorrens
джерело

Я не експерт, але поділюсь тим, що я зрозумів досі, прикладом.

Розглянемо булівський тип у CoC, використовуючи його стандартне кодування: Ми можемо очікувати, що зможемо довести Дійсно, це швидко випливає з залежний принцип усунення / індукції, який ми маємо, наприклад, у CiC

\begin{array}{l} B = Π_{τ : *} τ \to τ \to τ \\ t t = λ τ : *, x : τ, y : τ . x \\ f f = λ τ : *, x : τ, y : τ . y \end{array}

$\begin{array}{l} \mathbb{B} = \Pi_{\tau:*} \tau \to \tau \to \tau \\ \mathsf{tt} = \lambda \tau:*,x:\tau,y:\tau.\ x \\ \mathsf{ff} = \lambda \tau:*,x:\tau,y:\tau.\ y \end{array}$

Π_{b : B} b = t t \lor b = f f (*)

$\Pi_{b : \mathbb{B}} b={\sf tt} \lor b = {\sf ff} \qquad(*)$

B_{i n d} : Π_{P : B \to *} P (t t) \to P (f f) \to Π_{b : B} P (b)

$\mathbb{B}_{ind} : \Pi_{P:\mathbb{B}\to*} P({\sf tt}) \rightarrow P({\sf ff}) \rightarrow \Pi_{b:\mathbb{B}} P(b)$

Однак ми не можемо сподіватися, що (*) утримуватимуться у всіх моделях CoC! Інтуїтивно, значення в приблизно має бути сімейством функцій присвоюючи кожному типу значення в інтерпретації . Але це не змушує бути один із значень . Ми могли б, наприклад, (неофіційно) $\mathbb{B}$ $\{f_\tau\}_{\tau}$ $\tau$ $\tau\to\tau\to\tau$ $f_\tau$ $\sf tt,ff$

f_{N} (n) (m) = n + m

$f_{\mathbb{N}}(n)(m) = n+m$

Щоб бути впевненими, що значення - єдино можливі значення, нам потрібно обмежитися параметричними моделями. Дійсно (я думаю) властивість можна довести з вільної теореми, пов'язаної з політипом . $\sf tt,ff$ $(*)$ $\mathbb{B}$

Однак, наскільки я розумію, CoC не виключає спеціальних моделей, де параметричність не дотримується. У деяких із них просто помилково. По міцності, за наявності контрмоделі, робимо висновок, що не заселений у СС. Отже, немає жодного терміна в CoC. $(*)$ $(*)$ $\mathbb{B}_{ind}$

— чі
джерело

Я не впевнений, що слідкую за цим. Наприклад, задано вираз у вигляді , я можу зробити конструктори для Nat багато способів, але, в кінцевому підсумку, не всі вони будуть побудовані ні з або ?

(λ (N a t : *) . (. . .)) (Π (N : *) . Π (S : N \to N) . Π (Z : N) . N)

$(\lambda(Nat:*).(...)) (\Pi(\mathbb{N}:*).\Pi(S:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}).\Pi(Z:\mathbb{N}).\mathbb{N})$

S

$S$

Z

$Z$

— paulotorrens

@paulotorrens Всередині логіки, так, я вважаю, що це єдині варіанти. Але в моделі УПС (моделі тимчасової), можуть бути значення , які не можуть бути визначені через . Подумайте про природну величину таку, що для всіх типів крім де замість . Значення поводиться як "нуль" для більшості типів, і як "одне" для булевих. Ми не можемо записати в CoC, щоб визначити це значення , але в спеціальній моделі це значення все ж може бути присутнім.

N a t

$Nat$

S, Z

$S,Z$

n

$n$

n (T) (S_{T}) (Z_{T}) = Z_{T}

$n(T)(S_T)(Z_T) = Z_T$

T

$T$

T = B

$T=\mathbb{B}$

n (B) (S) (Z) = S (Z)

$n(\mathbb{B})(S)(Z) = S(Z)$

n

$n$

λ T : * . i f T = B t h e n \dots

$\lambda T:*. {\sf if}\ T=\mathbb{B}\ {\sf then}\ \ldots$

n

$n$

— чи

@paulotorrens Може бути , ви можете зрозуміти проблему легше , якщо ви думаєте про . Цей тип населений лише (поліморфною) ідентичністю, а в параметричних моделях це дійсно єдине можливе значення для термінів цього типу. Але в спеціальній моделі ми можемо визначити значення для всіх типів але для де .

Π_{T : *} T \to T

$\Pi_{T:*} T\to T$

v (T) (x) = x

$v(T)(x) = x$

T

$T$

T = N

$T=\mathbb{N}$

v (N) (x) = x + 1

$v(\mathbb{N})(x) = x+1$

— чи