Чи має кожен достатньо великий рядок повтори?

Нехай - деякий кінцевий набір символів фіксованого розміру. Нехай - деякий рядок над . Будеш говорити , що непорожня подстрока з є повторенням , якщо для деякого рядка .α Σ β α β = γ γ $\Sigma$$\alpha$$\Sigma$$\beta$$\alpha$$\beta = \gamma \gamma$$\gamma$

Тепер моє питання полягає в тому, чи справедливо таке:

Для кожного існує деякий такий, що для кожної рядка понад довжиною принаймні , містить принаймні одне повторення.n ∈ N α Σ n $\Sigma$$n \in \mathbb{N}$$\alpha$$\Sigma$$n$$\alpha$

Я перевірив це на двійковому алфавіті, і це досить легко для цього випадку, але алфавіт розміру 3 перевірити вже трохи складніше, але я хотів би підтвердити довільно великі граматики.

Якщо вищенаведена думка відповідає дійсності, я можу (майже) усунути попит на вставлення порожніх рядків в іншому запитанні .

Ні, на жаль, ні. Навіть є нескінченні слова без квадрата, якщо ваш алфавіт містить щонайменше три символи.

Цей, очевидно, природний кордон (у двофазних алфавітах є лише кінцево багато слів без квадрата) спостерігається у багатьох місцях, наприклад:

• | Σ | ≤ 2 Σ > $\{xyyz \mid x,y,z\in \Sigma^+\}$ є кінцевим для але не є контекстним для .$|\Sigma|\leq 2$$\Sigma>2$
• Клас мов, згенерований без термінальних шаблонів, можна вивчити в межах, якщо але не так, якщо [ Reid2004 ].| Σ | = $|\Sigma|>3$$|\Sigma|=2$