Чи існує нетривіальний тип, який дорівнює його власній похідній?

Стаття під назвою «Похідне від регулярного типу» - це тип «Одного отвору», показує, що «блискавка» типу - його контексти з одним отвором - відповідають правилам диференціації в алгебрі типів.

Ми маємо:

\begin{aligned} \partial_{x} x & \mapsto 1 \\ \partial_{x} 0 & \mapsto 0 \\ \partial_{x} 1 & \mapsto 0 \\ \partial_{x} (S + T) & \mapsto \partial_{x} S + \partial_{x} T \\ \partial_{x} (S \times T) & \mapsto \partial_{x} S \times T + S \times \partial_{x} T \end{aligned}

$\begin{align} \partial_x x &\mapsto 1 \\ \partial_x 0 &\mapsto 0 \\ \partial_x 1 &\mapsto 0 \\ \partial_x (S + T) &\mapsto \partial_x S + \partial_x T \\ \partial_x (S\times T) &\mapsto \partial_xS \times T + S \times \partial_x T \end{align}$

Ми можемо використовувати цю модель, щоб дістати, що похідна одиниці є недійсною, що похідна списку є добутком двох списків (суфікс разів префіксу) тощо.

Природним запитанням є "який тип є власною похідною?" Звичайно, у нас вже є , що говорить нам, що пустота (незаселений тип) є власною похідною, але це не дуже цікаво. Це аналог того, що похідна від нуля дорівнює нулю в звичайному нескінченно малому рахунку. $\partial_x 0 \mapsto 0$

Чи є інші рішення рівняння ? Зокрема, чи існує аналог в алгебрі типу? Чому або чому ні? $\partial_x T \mapsto T$ $\partial_x e^x = e^x$

type-theory algebra

— Матвій Пізяк
джерело

Існує в теорії комбінаторних видів, і там вона відповідає виду (кінцевих) множин, але це не відповідає алгебраїчному типу даних.

— Дерек Елкінс покинув SE

Що ви маєте на увазі під рівнем? Чи у вашому світі рівні і ? Як щодо та ?

(S + T) \to U

$(S + T) \to U$

(S \to U) \times (T \to U)

$(S \to U) \times (T \to U)$

N

$\mathbb{N}$

L i s t (N)

$\mathsf{List}(\mathbb{N})$

— Андрій Бауер

@AndrejBauer Перший так, останній ні. дорівнює ітераційному твору на мою думку. Це сказало, що у мене немає чіткої моделі рівності типів на моїх думках, і якщо у вас є модель, ви можете вказати на мене, я був би радий її прочитати.

L i s t (N)

$\mathsf{List}(\mathbb{N})$

1 + N + N \times N + N \times N \times N + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} N^{n}

$1 + \mathbb{N} + \mathbb{N} \times \mathbb{N} + \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{N}^{n}$

— Матвій Пізіак

@DerekElkins, як це трапляється, ще одна стаття Макбріда, що називається Клоунами зліва від мене, Джокери праворуч вказує, що "Для кінцевих структур [ітерація оператора на блискавках] породжує формулювання типів даних енергетичного ряду" безпосередньо, знаходження всіх елементів зліва направо .... Таким чином, існує істотний зв’язок з поняттям комбінаторних видів ". Тож я не був би здивований, якби комбінаторні види відігравали якусь цікаву роль і в контексті цього питання.

— Матвій Пізіак

@MatthewPiziak Вони безумовно так роблять. Брент Йорг говорив про це зовсім небагато . Дивіться також його тезу .

— Дерек Елкінс покинув SE

Відповіді:

Розглянемо кінцеві мультинабір . Його елементи задаються визначеними перестановками, так що для будь-якого . Що таке контекст з однією дірою для елемента в такій речі? Ну, у нас, мабуть, було щоб вибрати місце для отвору, тому нам залишилися решта елементів , але ми не мудріші, де це де. (Це на відміну від списків, коли вибір позиції для дірки розрізає один список на два розділи, а другий поріз похідних виділяє один із цих розділів і розрізає його далі, як "точка" та "позначка" в редакторі, але я відхиляюсь. ) Контекст з однією діркою в $\mathbf{Bag}\:X$ $\{x_1,\ldots,x_n\}$ $\{x_1,\ldots,x_n\}=\{x_{\pi 1},\ldots,x_{\pi n}\}$ $\pi\in\mathbf{S}_n$ $n>0$ $n-1$ $\mathbf{Bag}\:X$ , таким чином, , і кожен може виникнути як такий. Думаючи просторово, похідна повинна бути самою собою. $\mathbf{Bag}\:X$ $\mathbf{Bag}\:X$ $\mathbf{Bag}\:X$

Тепер,

B a g X = \sum_{n \in N} X^{n} / S_{n}

$\mathbf{Bag}\:X = \sum\limits_{n\in\mathbb{N}}X^n/\mathbf{S}_n$

вибір розміру кортежу , з набором елементів до групи перестановок порядку, даючи нам саме розширення ряду потужностей . $n$ $n$ $n!$ $e^x$

Наївно, ми можемо охарактеризувати типи контейнерів набором фігур та залежним від форми сімейства позицій : так що контейнер задається символом вибір форми та карти від позицій до елементів. З сумками та подібним є додатковий виток. $S$ $P$

\sum_{s : S} X^{(P s)}

$\sum\limits_{s:S}X^{(P\,s)}$

"Форма" сумки - деяка ; "позиції" - , кінцевий набір розміру , але карта від позицій до елементів повинна бути інваріантною під перестановками з . Не повинно бути доступу до сумки, яка «виявляє» розташування її елементів. $n\in\mathbb{N}$ $\{1,\ldots,n\}$ $n$ $\mathbf{S}_n$

Консорціум контейнерів Іст-Мідлендс написав про такі структури в " Конструювання поліморфних програм з типовими коефіцієнтами" для математики побудови програм 2004. Коефіцієнти з коефіцієнтами розширюють наш звичайний аналіз структур за "формами" та "позиціями", дозволяючи групі автоматизми діяти на позиціях , що дозволяє нам розглядати такі структури , як невпорядковані пари , з похідною . Невпорядкований -кратного задається, та його похідна (коли - невпорядкований кортеж ). Сумки беруть суму цих. Ми можемо грати в подібні ігри з циклічними -парами, $X^2/2$ $X$ $n$ $X^n/n!$ $n>0$ $n-1$ $n$ $X^n/n$ , де вибираючи положення для отвору, цвяхи обертаються на одне місце, залишаючи , кортеж, менший, без перестановки. $X^{n-1}$

"Типовий поділ" в цілому не має сенсу, але допитливість груп перестановки (як у комбінаторних видів) має сенс, і з ним весело грати. (Вправа: сформулюйте структурний принцип індукції для не упорядкованих пар чисел і використовуйте його для реалізації додавання та множення, щоб вони були комутаційними за побудовою.) $\mathbb{N}^2/2$

Характеристика контейнерів "фігури і позиції" не нав'язує жодної обмеженості. Комбінаторні види мають тенденцію до впорядкованості за розмірами , а не за формою, що означає збір термінів та обчислення коефіцієнта для кожного показника. Коефіцієнти, що містять коефіцієнти, з набором з кінцевим положенням і комбінаторні види - це в основному різні спини на одній речовині.

— свинарник
джерело

З'являється оригінальний автор! Дякуємо, що зупинилися, щоб показати нам цей прекрасний результат.

— Матвій Пізіак

Як щодо нескінченної суми Похідна - яка за асоціативністю та комутативністю сум дорівнює оригіналу.

\sum_{i, j \in N} X^{i} ?

$\sum_{i, j \in \mathbb{N}} X^i ?$

\sum_{i, j \in N} \underset{i + 1}{\underset{⏟}{X^{i} + \dots + X^{i}}}

$\sum_{i, j \in \mathbb{N}} \underbrace{X^i + \cdots + X^i}_{i+1}$

Також нескінченна сума дорівнює ), тому ми могли б спробувати обчислити похідну за допомогою списків. $\sum_{j \in \mathbb{N}} \mathsf{List}(X)$

— Андрій Бауер
джерело

Похідна списку - це пара списків (суфікс разів із префіксом). За правилом суми похідна списку списків - це список списків. Чи перелік пар списків є ізоморфним до списку списків?

— Матвій Пізіак

@MatthewPiziak Можливо, простіше думати про першу формулювання як . Беручи похідну, отримуємо (з очевидним значенням для ). Тепер нам потрібні лише . Для мене це схоже на (дуже неофіційно), за винятком коефіцієнтів ряду потужностей вибрано (тобто ), щоб вони могли задовольнити у a світ без поділу.

\sum_{i \in N} N \times X^{i}

$\sum_{i\in \mathbb{N}} \mathbb{N}\times X^i$

\sum_{i \in N} i \times N \times X^{i}

$\sum_{i\in \mathbb{N}} i\times \mathbb{N}\times X^i$

i

$i$

N ≃ i \times N

$\mathbb{N}\simeq i\times \mathbb{N}$

e^{x} = \sum_{i} x^{i} / n!

$e^x = \sum_i x^i/n!$

+ \infty

$+\infty$

N

$\mathbb{N}$

a_{n} = (n + 1) \cdot a_{n + 1}

$a_{n} = (n+1) \cdot a_{n+1}$

— чі

@MatthewPiziak На жаль, я написав замість , але, думаю, зрозуміло, що я мав на увазі.

n

$n$

i

$i$

— чі