Чи завжди набори "Перед і після" для безконтекстних граматик завжди без контексту?

14

Нехай $G$ - граматика без контексту. Рядок терміналів і нетерміналів з $G$ називається бути сентенціальной формою з $G$ , якщо ви можете отримати його шляхом застосування постановки $G$ нуля або більше разів для початкового символу $S$ . Нехай $\operatorname{SF}(G)$ безліч пропозіціональних форм $G$ .

Нехай $\alpha \in \operatorname{SF}(G)$ , і нехай $\beta$ буде подстрока $\alpha$ - ми називаємо $\beta$ на фрагмент з $\operatorname{SF}(G)$ . Тепер нехай

$\operatorname{Before}(\beta) = \{ \gamma \ |\ \exists \delta . \gamma \beta \delta \in \operatorname{SF}(G) \}$

і

$\operatorname{After}(\beta) = \{ \delta \ |\ \exists \gamma . \gamma \beta \delta \in \operatorname{SF}(G) \}$ .

Чи існують контекстні мови та ? Що робити, якщо однозначний? Якщо неоднозначно, чи описані і однозначною мовою без контексту? $\operatorname{Before}(\beta)$ $\operatorname{After}(\beta)$ $G$ $G$ $\operatorname{Before}(\beta)$ $\operatorname{After}(\beta)$

Це продовження мого попереднього запитання , після попередньої спроби полегшити моє запитання не вдалося. Негативна відповідь зробить обширне питання, над яким я працюю дуже важко.

— Алекс десять Бринк
джерело

8

Давайте отримаємо відчуття спочатку та . Розглянемо дерево походження, яке містить ; Тут "містить" означає, що ви можете відрізати підрядні частини, щоб було підсловом фронту дерева. Тоді набір до (після) - це всі потенційні фронти частини дерева ліворуч (праворуч) від : $\operatorname{Before}(\beta)$ $\operatorname{After}(\beta)$ $\beta$ $\beta$ $\beta$

дерево з наборами до і після
^{[ джерело ]}

Отже, ми повинні побудувати граматику для горизонтально викладеної (вертикально викладеної) частини дерева. Це здається досить простим, оскільки у нас вже є граматика для всього дерева; нам просто потрібно переконатися, що всі сентенційні форми - це слова (змінити алфавіти), відфільтрувати ті, що не містять (це регулярна властивість, як фіксовано), і вирізати все після (до) , включаючи . Це різання також має бути можливим. $\beta$ $\beta$ $\beta$ $\beta$

Тепер до формального доказу. Ми перетворимо граматику як окреслено і використаємо властивості закриття для фільтрації та різання, тобто виконаємо неконструктивне доведення. $\mathrm{CFL}$

Нехай без контекстної граматики. Неважко помітити, що без контексту; побудуємо так: $G = (N, T, \delta, S)$ $\operatorname{SF}(G)$ $G'=(N',T',\delta',N_S)$

$N' = \{N_A \mid A \in N\}$
$T' = N \cup T$
$\delta' = \{\alpha(A) \to \alpha(\beta)\mid A\to\beta \in \delta \} \cup \{N_A \to A \mid A\in N\}$

з для всіх і для всіх . Зрозуміло, що ; тому відповідне замикання префікса і закриття суфікса є контекстно-вільним, too¹. $\alpha(t)=t$ $t \in T$ $\alpha(A)=N_A$ $a\in N$ $\mathcal{L}(G')=\operatorname{SF}(G)$ $\operatorname{Pref}(\operatorname{SF}(G))$ $\operatorname{Suff}(\operatorname{SF}(G))$

Тепер для будь-яких є і регулярні мови. Оскільки закритий під перетином, а правий / лівий частник звичайними мовами, ми отримуємо $\beta \in (N\cup T)^*$ $\mathcal{L}(\beta(N\cup T)^*)$ $\mathcal{L}((N\cup T)^*\beta)$ $\mathrm{CFL}$

$\qquad \displaystyle \operatorname{Before}(\beta) = (\operatorname{Pref}(\operatorname{SF}(G))\ \cap\ \mathcal{L}((N\cup T)^*\beta))\,/\,\beta \in \mathrm{CFL}$

і

. $\qquad \displaystyle \operatorname{After}(\beta) = (\operatorname{Suff}(\operatorname{SF}(G))\ \cap\ \mathcal{L}(\beta(N\cup T)^*))\,\backslash\, \beta \in \mathrm{CFL}$

¹ є закритим під правим (і зліва) фактор ; і подібне для виходу закриття суфікса. $\mathrm{CFL}$ $\operatorname{Pref}(L) = L / \Sigma^*$ $\operatorname{Suff}$

— Рафаель
джерело

Я почав писати відповідь, тоді зрозумів, що мій доказ такий самий, як і ваш. Я б сказав так (стислий , щоб відповідати тут): сформувати граматику

шляхом додавання нового терміналу

(а метапеременную) для кожного нетермінала

і виробництво

. Тоді сентенційні форми

- це слова, розпізнані

які складаються із змінних. Це перетин CFG зі звичайною мовою і, отже, регулярний. Набір префіксів CFG - це CFG (візьміть КПК і зробіть кожний стан остаточним).

G^{'}

$G'$

\hat{A}

$\hat A$

A

$A$

A \to \hat{A}

$A\to\hat A$

G

$G$

G

$G$

є знову CFG.

B e f o r e (γ) = {γ ∣ γ β \in L (P r e f i x (\hat{G}))}

$\mathrm{Before}(\gamma) = \{\gamma \mid \gamma\beta\in L(\mathrm{Prefix}(\hat G))\}$

— Жиль "ТАК - перестань бути злим"

1

@ Gilles, три коментарі до цього: 1) виразні форми, як правило, (належним чином) містять мову. 2) "зробити кожну державу остаточною" - це не спрацює; ви також приймете префікси немов. 3) Останній крок "відрізання" суфікса здається складним, щоб отримати суворий характер. : / У вас є жорсткий, але більш компактний доказ, ніж мій?

— Рафаель

1) doesn't matter (change

G

$G$ to have or not have a nonterminal for each terminal). 2) Oops, I cut off too much: make every state that can reach a final state final. 3) Do it one terminal

b

$b$ at a time; in the PDA, mark the states from which one can reach a final state by consuming

b

$b$ as final instead. Yes, it would take more expansion to make this rigorous.

— Gilles 'SO- stop being evil'

9

$\mbox{Before}(\beta)$ $\mbox{After}(\beta)$ $L$

$\mbox{Before}(L,\beta) = \{ \gamma \ |\ \exists \delta . \gamma \beta \delta \in L \}$

and

$\mbox{After}(L,\beta) = \{ \gamma \ |\ \exists \delta . \delta \beta \gamma \in L \}$

are CF.

Proof? For $\mbox{Before}(L,\beta)$ construct a non-deterministic finite-state transducer $T_{\beta}$ that scans a string, outputting every input symbol it sees and simultaneously searches non-deterministically for $\beta$ . Whenever $T_{\beta}$ sees the first symbol of $\beta$ it forks non-deterministically and ceases outputting symbols until either it finishes seeing $\beta$ or it sees sees a symbol that deviates from $\beta$ , stopping in either case. If $T_{\beta}$ sees $\beta$ in full, it accepts upon stopping, which is the only way it accepts. If it sees a deviation from $\beta$ , it rejects.

The lemma can be jiggered to handle cases where $\beta$ could overlap with itself (like $abab$ -- keep looking for $\beta$ even while in the midst of scanning for a prior $\beta$ ) or appears multiple times (actually, the original non-determinisic forking already handles that).

It's fairly clear that $T_\beta(L) = \mbox{Before}(L,\beta)$ , and since the CFLs are closed under finite-state transduction, $\mbox{Before}(L,\beta)$ is therefore CF.

A similar argument goes for $\mbox{After}(L,\beta)$ , or it could be done with string reversals from $\mbox{Before}(L,\beta)$ , CFLs also being closed under reversal:

$\mbox{After}(L,\beta) = \mbox{rev}(\mbox{Before}(\mbox{rev}(L),\mbox{rev}(\beta)))$

Actually, now that I see the reversal argument, it would be even easier to start with $\mbox{After}(L,\beta)$ , since the transducer for that is simpler to describe and verify -- it outputs the empty string while looking for a $\beta$ . When it finds $\beta$ it forks non-deterministically, one fork continuing to look for further copies of $\beta$ , the other fork copying all subsequent characters verbatim from input to output, accepting all the while.

What remains is to make this work for sentential forms as well as CFLs. But that is pretty straightforward, since the language of sentential forms of a CFG is itself a CFL. You can show that by replacing every non-terminal $X$ throughout $G$ by say $X^\prime$ , declaring $X$ to be a terminal, and adding all productions $X^\prime \rightarrow X$ to the grammar.

I'll have to think about your question on unambiguity.

— David Lewis
джерело