Нескінченний ланцюжок великих

По-перше, дозвольте мені написати визначення великого просто для того, щоб зробити явні речі.$O$

0 ≤ f ( n ) ≤ c g ( n ) , ∀ n ≥ n $f(n)\in O(g(n))\iff \exists c, n_0\gt 0$ такий, що$0\le f(n)\le cg(n), \forall n\ge n_0$

Скажімо, у нас є обмежена кількість функцій: задовольняють:$f_1,f_2,\dots f_n$

$O(f_1)\subseteq O(f_2)\dots \subseteq O(f_n)$

За транзитивністю маємо, що:O ( f 1 ) ⊆ O ( f n$O$$O(f_1)\subseteq O(f_n)$

Чи це має місце, якщо ми маємо нескінченний ланцюжок з ? Іншими словами, ?O ( f 1 ) ⊆ O ( f ∞$O's$$O(f_1) \subseteq O(f_\infty)$

Мені важко уявити, що відбувається.

Спершу нам потрібно уточнити, що ми маємо на увазі під "чи це справедливо, якщо у нас є нескінченний ланцюжок?" Ми інтерпретуємо це як нескінченну послідовність функцій така, що для всіх маємо . Така послідовність може не мати останньої функції.i f i ( n ) = O ( f i + 1 ( n ) $\{f_i:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \mid 1\leq i\}$$i$$f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$

Ми можемо подивитися на межу функцій у послідовності, тобто . Однак можливо, що обмеження не існує. І навіть у випадку, якщо він існує, ми можемо не мати . Наприклад, розглянемо послідовність функцій . Для кожного , і тому . Однак таким чином, .f 1 ( n ) = O ( f ∞ ( n ) ) f i ( n ) = $f_\infty(n) = \lim_{i\to \infty} f_i(n)$$f_1(n) = O(f_\infty(n))$ ifi(n)=Θ(n)fi(n)=O(fi+1(n))f∞$f_i(n) = \frac{n}{i}$$i$$f_i(n)=\Theta(n)$$f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$f 1 ( n ) ≠ O ( f ∞$f_\infty(n)=\lim_{i\to\infty}f_i(n)=0=\Theta(1)$$f_1(n) \neq O(f_\infty(n))$

З іншого боку, ми можемо подивитися на межу послідовності класів, яка не повинна дорівнювати класу межі функцій . У нас є , тому і для всіх . Вища межа містить усі елементи (функції в даному випадку), які виникають нескінченно часто, а межа нижчого містить усі елементи, які зустрічаються у всіх для деякихO ( f i ) ⊆ O ( f i + 1 ) f j ∈ lim i → ∞ O ( f i ) = lim sup i → ∞ O ( f i ) = lim inf i → ∞ O ( f i ) = ⋃ n ∈ $f_i \in \mathcal O(f_{i+1})$$\mathcal O(f_i) \subseteq \mathcal O(f_{i+1})$j O ( f i ) , i ≥ n 0 n 0$f_j \in \lim_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \limsup_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \liminf_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\bigcap_{k>n}\mathcal O(f_k)$$j$$\mathcal O(f_i), i \ge n_0$$n_0$ (що може залежати від елемента). Оскільки послідовність класів монотонно зростає, обидва існують, і вони рівні. Це виправдовує використання .$\lim$

Так, можливо мати нескінченний ланцюжок.

Я впевнений, що ви вже знайомі з деякими прикладами: вас тут нескінченний ланцюжок: поліноми зростаючого ступеня. Ви можете піти далі? Звичайно! Експоненція росте швидше (асимптотично кажучи), ніж будь-який многочлен. І звичайно, ви можете продовжувати рух:O ( x ) ⊆ O ( x 2 ) ⊆ … ⊆ O ( x 42 ) ⊆ … O ( e x ) O ( e x ) ⊆ O (

$$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots$$ $$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots O(e^x)$$ $O(\mathrm{e}^x) \subseteq O(x\,\mathrm{e}^x) \subseteq O(\mathrm{e}^{2x}) \subseteq O(\mathrm{e}^{\mathrm{e}^x}) \subseteq \ldots$

Ви можете побудувати нескінченний ланцюжок і в іншому напрямку. Якщо то (дотримуючись позитивних функцій, оскільки тут ми обговорюємо асимптотику функцій складності). Ось ми маємо для прикладу:$f = O(g)$$\dfrac{1}{g} = O\left(\dfrac{1}{f}\right)$

$$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x^2}\right) \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x}\right) \subseteq O(e^x)$$

Насправді, враховуючи будь-який ланцюг функцій , ви можете побудувати функцію яка зростає швидше, ніж усі вони. (Я припускаю, що - це функції від до .) Спочатку почніть з ідеї . Це може не спрацювати, оскільки множина може бути без обмежень. Але оскільки ми втручаємося лише в асимптотичний ріст, достатньо починати з малого та прогресивно рости. Візьміть максимум над обмеженою кількістю функцій. f ∞ f i N R + f ∞ ( x ) = max { f n ( x ) ∣ n ∈ N } { f n ( x ) ∣ n ∈ N } f ∞ ( x ) = max { f n ( x ) ∣ 1 ≤ n $f_1, \ldots, f_n$$f_\infty$$f_i$$\mathbb{N}$$\mathbb{R}_+$$f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$$\{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$ N f N ∈ O ( f ∞ ) ∀ x ≥ N , f ∞ ( x ) ≥ f N ( x ) f ∞ = o ( f ′ ∞ ) f ′ ∞ ( x ) = x ⋅ ( 1 + f ∞ ( x )

$$f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid 1 \le n \le N \} \qquad \text{if \(N \le x \lt N+1\)}$$ Тоді для будь-якого , , оскільки . Якщо ви хочете, щоб функція, яка росте строго швидше ( ), візьміть .$N$$f_N \in O(f_\infty)$$\forall x \ge N, f_\infty(x) \ge f_N(x)$$f_\infty = o(f_\infty')$$f_\infty'(x) = x \cdot (1 + f_\infty(x))$