Як довести, що

Це домашнє запитання з книги Уді Манбера. Будь-який натяк був би приємний :)

Треба показати, що:

$n(\log_3(n))^5 = O(n^{1.2})$

Я спробував використовувати теорему 3.1 книги:

(для,) $f(n)^c = O(a^{f(n)})$ $c > 0$ $a > 1$

Заміна:

$(\log_3(n))^5 = O(3^{\log_3(n)}) = O(n)$

але $n(\log_3(n))^5 = O(n\cdot n) = O(n^2) \ne O(n^{1.2})$

Дякую за будь-яку допомогу.

asymptotics landau-notation mathematical-analysis

— Андре Ресенде
джерело

Які методи можна використовувати? Погляньте на цю відповідь, це може дати вам кілька ідей. Також тут є багато корисної інформації.

— Ран Г.

@RanG. чи слід це закрити в світлі пов'язаного питання

— Суреш

@ Суреш, я не впевнений. Я боюся, якщо ми цього не зробимо, ми б були залиті такими питаннями (які, можливо, повинні відповідати краще Математиці ). Але це питання дійсне.

— Ран Г.

@RanG. Я спробував подолати ліміти, але успіху не було.

— Андре Ресенде

@ RanG .: math.SE вже заповнений цими питаннями, здебільшого позначеними "алгоритмами".

— Луї

Відповіді:

Зробіть те, що ви зробили, але нехай ... це повинно це робити, правда? $a = (3^{0.2})$

Причина того, що ви не працювали, полягає в наступному. Велика-ой межа не тісна; в той час як логарифм до п’ятої дійсно великий-ой лінійних функцій, він також великий о п’ятої кореневої функції. Вам потрібен цей більш сильний результат (який ви також можете отримати з теореми), щоб робити те, що ви робите.

— Патрік87
джерело

Насправді, для будь-якого

ϵ > 0

$\epsilon >0$

n \log^{c} n = O (n^{1 + ϵ})

$n \log^c n = O(n^{1+\epsilon})$

— Ran G.

@RanG. Так, це прямий наслідок теореми.

— Patrick87

@AndreResende Якщо моя відповідь допомогла вирішити вашу проблему, і це має сенс, ви можете "прийняти", використовуючи зелену галочку. Це допомагає іншим бачити, що працювало для вас, і може допомогти вам отримати більше допомоги в майбутньому. Звичайно, якщо ви хочете інших відповідей, тримайте.

— Patrick87

Інший спосіб подумати про це більш інтуїтивно, це бачити, що головне, що ви повинні показати, це те, що є , або рівнозначно, що є $(\log_3(n))^5$ $O(n^{0.2})$ $\log_3(n)$ . Журнали завжди ростуть повільніше, ніж будь-яка постійна потужність n, незалежно від того, наскільки мало. $O(n^{0.04})$

Якщо ви хочете формалізувати останнє речення, тоді ви можете використовувати теорему 3 з досить малим як згадує @RanG у коментарі до відповіді @ Patrick87. $\alpha$

— Артем Казнатчеєв
джерело