Ефективний алгоритм наближення до оптимальних крайових забарвлень гіперграфів

Проблеми з забарвленням графіків вже досить важкі для більшості людей . Незважаючи на це, мені доведеться бути важким і задати проблему щодо забарвлення гіперграфа.

Питання.

Які існують ефективні алгоритми для пошуку приблизно оптимального фарбування краю для k-рівномірних гіперграфів?

Деталі ---

• K-рівномірний гіперграф - це той, у якому кожен край містить точно k вершин; звичайний випадок простого графіка k = 2. Точніше, мене цікавлять мічені k-рівномірні гіперграфи, у яких два ребра можуть насправді мати однаковий набір вершин; але я вирішу щось на k-регулярних гіперграфах із ребрами, що перетинаються не більше ніж k − 1 вершин.

• Крайове забарвлення гіперграфів - це те, в якому краї одного кольору не перетинаються, як у випадку з графіками. Хроматичний показник χ '(H) - це мінімальна кількість необхідних кольорів, як зазвичай.

• Я хотів би отримати результати детермінованих або рандомізованих поліноміальних алгоритмів часу.

• Я шукаю найвідоміший коефіцієнт наближення / розрив добавки між тим, що можна ефективно знайти, і фактичним хроматичним показником χ '(H) --- або, з цього приводу, найкращим результатом з точки зору параметрів такі як максимальна вершинна ступінь Δ (H), розмір гіперграфа тощо.

Edit: запит репліки Суреша про HyperGraph двійників нижче, слід зазначити , що ця задача еквівалентна завданням знаходження сильної вершини забарвлення з до-регулярним гіперграфу: тобто, де кожна вершина належить до різних ребрах [а краю тепер може містити різну кількість вершин], і ми хочемо, щоб забарвлення вершин було таким, щоб будь-які дві сусідні вершини мали різні кольори. Це переформулювання також не здається очевидним рішенням.

Зауваження

У випадку графіків теорема Візінга не лише гарантує, що крайове хроматичне число для графа G є або Δ (G), або Δ (G) +1, стандартні докази цього також дають ефективний алгоритм пошуку Δ (G ) + 1-ребро-забарвлення. Цей результат був би досить хорошим для мене, якби я зацікавився випадком k = 2; однак мене спеціально цікавить k> 2 довільно.

Здається, не існує жодних відомих результатів щодо меж кольорового розмальовування гіперграфами, якщо тільки ви не додасте обмежень, таких як кожне ребро, що перетинається у максимум t вершинах. Але мені не потрібні межі на χ '(H); просто алгоритм, який знайде «досить хороший» краєвид краю. [Я також не хочу розміщувати жодних обмежень на своїх гіперграфах, за винятком того, що вони є k-рівномірними, і, можливо, межі на максимальній вершинній ступені, наприклад, Δ (H) ≤ f (k) для деякого f ∈ ω (1) .]

[ Додаток. Зараз я задав відповідне запитання на MathOverlow щодо меж хроматичного числа, конструктивного чи іншого.]

Відповідь нижче порушує ваш стан, що ви не хочете, щоб серйозні обмеження були розміщені на вашому гіперграфові, але це може бути цікавим, якщо тільки як пов'язана робота.

$r$$r$

Нещодавно працювали над такими проблемами "барвистого забарвлення" для геометричних просторів, частково мотивованими проблемами в сенсорних мережах. Стандартне запитання, яке задають:

$k$$S$$c_S(k)$$c_S(k)$$r$$S$$\min(|r|, k)$

$c_S(\Delta)$$\Delta$

$c_\tilde{S}(k)$$\tilde{S}$

$S$$\Re^2$$c_S(k) \le 3k-2$

Хорошим посиланням на цю роботу є документ DCG від Aloupsis et al. Та посилання на них.