Визначальний модуль m

Назвіть відомі ефективні алгоритми для обчислення визначника цілочисельної матриці з коефіцієнтами в , кільця залишків по модулю . Число може бути не простим, а складеним (тому обчислення проводяться в кільці, а не в полі).$\mathbb{Z}_m$$m$$m$

Наскільки мені відомо (читайте нижче), більшість алгоритмів є модифікацією усунення Гаусса. Питання полягає в обчислювальній ефективності цих процедур.

Якщо трапилося, що є якийсь інший підхід, мені теж цікаво.

Заздалегідь спасибі.

Оновлення:

Дозвольте пояснити джерело цього питання. Припустимо, $m$ - просте число. Отже $\mathbb{Z}_m$ - це поле. І в цьому випадку ми можемо виконувати всі обчислення, використовуючи числа менше $m$ , тому у нас є деяка приємна верхня межа всіх операцій над числами: додавання, множення та інверсія --- всі необхідні операції для запуску Гауссової елімінації.

З іншого боку, ми не можемо здійснити інверсію для деяких чисел, якщо $m$ не є простим. Тому нам потрібні кілька хитрощів для обчислення визначника.

І зараз мені цікаво, які відомі хитрощі виконувати цю роботу і чи можна такі хитрощі знайти в книгах та книгах.

Якщо ви знаєте факторизацію ви можете обчислити модуль кожного p e i i окремо, а потім об'єднати результати, використовуючи китайський передопомогу. Якщо e i = 1 , то обчислити модуль p e i i легко, оскільки це поле. Для більшого e i , ви можете використовувати підйомник Hensel. $m = p_1^{e_1} \cdots p_n^{e_n}$$p_i^{e_i}$$e_i = 1$$p_i^{e_i}$$e_i$

Існує комбінаторний алгоритм Махаджана та Віней, який працює над комутаційними кільцями: http://cjtcs.cs.uchicago.edu/articles/1997/5/contents.html

Щоб вирішити цю проблему, існує швидкий детермінований алгоритм, заснований на нормальних формах Сміта , найгірша складність яких обмежена вартістю множення матриці на ціле число по модулю . Для будь-якої матриці A алгоритм виводить його нормальну форму Сміта, звідки det ( A ) можна легко обчислити.$m$$A$$\text{det}(A)$

Більш конкретно, визначте так, що дві n × n матриці з коефіцієнтами, взятіми від Z m, можна помножити, використовуючи основні арифметичні операції O ( n ω ) на Z m (ціле додавання, множення, експоненція тощо). Потім,$\omega$$n \times n$$\mathbb{Z}_m$$O(n^{\omega})$$\mathbb{Z}_m$

Враховуючи матрицю , існує детермінований алгоритм, який обчислює det ( A ), використовуючи O ( n ω ) основні арифметичні операції над Z m [1] .$A\in \mathbb{Z}_m^{n \times n}$$\text{det}(A)$$O(n^{\omega})$$\mathbb{Z}_m$

Коли це було написано в 1996 році, не було асимптотично більш швидкої альтернативи (у статті йдеться про попереднє існування алгоритмів з однаковою зв’язкою, але я не знаю, які з них, чи є вони ймовірнісними).

Оновлення (17 липня 2013): приємний бонус особливість цього алгоритму є те , що він працює в поліноміальний час для довільних композиційних , не знаючи прайм-Nuber розкладання в м ! Це добре, оскільки не існує відомих ефективних (класичних) алгоритмів факторингу (звичайно, якщо у вас був квантовий комп'ютер, ви можете застосувати алгоритм Шор ). Якщо ви робите є розкладання , то алгоритм Маркус запропонував спосіб здається простіше реалізувати.$m$$m$

Примітки: у статті складність "основних арифметичних операцій" становить якщо ви використовуєте стандартну цілу арифметику, але ви можете досягти O ( M ( log m ) log log m ) більш швидкими методами. M ( t ) обмежує вартість множення двох t- бітних чисел. Поточний рекорд для ω становить 2.3727 .$O(\log^2 m)$$O(M(\log m)\log \log m)$$M(t)$$t$$\omega$