Наскільки велика дисперсія ширини ширини випадкового графіка в G (n, p)?

Я намагаюся знайти, наскільки насправді близькі та , коли і - константа, не залежна від n (так ). Моя оцінка полягає в тому, що $tw(G)$ $E[tw(G)]$ $G \in G(n,p=c/n)$ $c>1$ $E[tw(G)] = \Theta(n)$ whp, але мені це не вдалося довести. $tw(G) \leq E[tw(G)] + o(n)$

— Костас
джерело

Яка мотивація до питання? (тобто чому цікавляться цією проблемою?)

— Kaveh

Ну ... мені було цікаво, наскільки знання деяких країв може вплинути на оцінену широту ширини (знання про існування кожного краю може вплинути на ширину ширини якнайбільше на один), і це привело мене до цього питання (що набагато більше цікаво)

— Костас

Зокрема, це має значення для верхніх меж підрахунку моделей у задовольняючому режимі для випадкових випадків SAT (та квантово-SAT) у фазі випадкових графіків Ердоса-Рені, що мають велику пов'язану складову. Наскільки ми піклуємося про випадковий SAT як тему теоретичної інформатики, а також підходи, що передбачають широку ширину для обмеження складності #SAT та подібних проблем, це питання є вмотивованим.

— Ніль де Бодорап

Вам не потрібно обчислювати дисперсію, щоб довести концентрацію tw (G (n, p)) навколо її очікування. Якщо два графіки G 'і G відрізняються однією вершиною, то їх широчина ширини відрізняється щонайменше на одну. Ви можете використовувати стандартний метод, нерівність Гоффдінга-Азуми, застосований до вершинного мартингале, що показує, наприклад,

$\mathbb{P}( | tw(G(n,p)) - \mathbb{E} tw(G(n,p))| > t) \le 3 e^{- t^2/(2 n)}$

$t = n^{0.51}$ .

$G(n,p)$

— Валентас
джерело