Запуск алгоритму BPP з напіввипадковою, наполовину змагальною рядком

Розглянемо таку модель: n-бітний рядок r = r ₁ ... r _n вибирається рівномірно рівномірно. Далі кожен індекс i∈ {1, ..., n} вводиться в множину A з незалежною ймовірністю 1/2. Нарешті, супротивнику дозволяється для кожного i∈A окремо перевертати r _i, якщо він цього хоче.

Моє запитання таке: чи може рядок, що утворюється (називайте його r '), використовуватися алгоритмом RP або BPP як єдиним джерелом випадковості? Припустимо, що противник заздалегідь знає весь алгоритм BPP, рядок r та множину A, і що він має необмежений час обчислення. Також припустимо (очевидно), що алгоритм BPP не знає ні супротивників, ні фліп-рішень, ні А.

Я добре усвідомлюю, що довгий напрямок роботи над саме таким питанням - від роботи Умеша Вазірані над напів випадковими джерелами (інша, але споріднена модель), до останніх робіт з витяжках, злиттях і конденсаторах. Тож моє запитання просто в тому, чи будь-яка з цих робіт дає те, що я хочу! Література про слабкі випадкові джерела настільки велика, з такою кількістю тонко різних моделей, що хтось, хто знає, що література, можливо, може зекономити мені багато часу. Спасибі заздалегідь!

Вам потрібен «висівний екстрактор» із такими параметрами: насіння довжиною , неочищеною невимушеністю та довжиною виводу . Такі відомі. Хоча я не в курсі останніх опитувань, я вважаю, що розділу 3 опитування Ронена достатньо.n / 2 n Ω ( 1 $O(\log n)$$n/2$$n^{\Omega(1)}$

Єдине, що вам потрібно буде показати - це те, що у вашого джерела є достатня "min-ентропія", тобто жодна n-бітна рядок не отримує ймовірності більше , що, на мою думку, є зрозумілим у ваших налаштуваннях.$2^{-n/2}$

Чи може супротивник бачити весь рядок r, перш ніж вирішити, як встановити біти в A? Якщо відповідь «ні», це джерело, що фіксує біт, яке фактично може бути вилучене. Тобто, не потрібно справді випадкового насіння. Дивіться, наприклад, Камп і Цукерман щодо конструкцій витяжок для джерел біт-фіксації.

Якщо противнику дозволяється бачити решту рядка, я все одно здогадаюсь, що це детерміновано витягується, але моделі дещо відрізняються, і я не знаю, як вони стосуються. Оскільки множина A є випадковою, вона насправді навіть дружніша, ніж джерело, що фіксує біт, де множина A може бути довільною.

Ну, правда, звичайно. Історично перше моделювання BPP з джерелом будь-якої постійної швидкості ентропії було подано в моїй роботі "Моделювання BPP з використанням загального слабкого випадкового джерела". Зараз є більш прості способи досягти цього і ще сильніших результатів.

У вашій моделі неможливе вилучення більш постійної кількості бітів. (Ви можете отримати слабкий детермінований витяг 1 біта, просто вивівши перший біт.) Кемп і я показали, що неможливо витягти більше, ніж постійну кількість бітів у загальному непомірному джерелі фіксації бітів з постійною швидкістю ентропії, але оскільки множина A є випадковою, ці результати не застосовуються як зазначено. Однак наше доведення спрацювало, вибравши A навмання фіксованого розміру t, тому, вибравши t = .6n, скажімо, результат для рівномірно випадкового A буде слідувати.