Використання алгебраїчних структур у теоретичній інформатиці

Я практик програмного забезпечення і пишу опитування алгебраїчних структур для особистих досліджень і намагаюся навести приклади того, як ці структури використовуються в теоретичній інформатиці (і в меншій мірі, інших підполях інформатики) .

Під груповою теорією я натрапив на синтаксичні моноїди для формальних мов та моноїди слідів та історії для паралельних / одночасних обчислень.

З точки зору теорії кілець, я натрапив на рамки семірування для обробки графіків та розбору на основі семірування.

У моєму дослідженні я ще не знайшов використання алгебраїчних структур з теорії модулів (і хотів би цього).

Я припускаю, що є додаткові приклади і що я просто не шукаю потрібного місця, щоб їх знайти.

Які ще є приклади алгебраїчних структур із перелічених вище областей, які зазвичай зустрічаються в теоретичній інформатиці (та інших підполях інформатики)? Крім того, які журнали чи інші ресурси ви можете порекомендувати, що можуть висвітлювати ці теми?

Моє враження, що, за великим рахунком, традиційна алгебра є занадто специфічною для використання в інформатиці. Тож комп'ютерні вчені або використовують слабкіші (а значить, і більш загальні) структури, або узагальнюють традиційні структури, щоб вони могли відповідати їх потребам. Ми також дуже багато використовуємо теорію категорій, яку математики не вважають частиною алгебри, але ми не бачимо, чому ні. Ми вважаємо впорядкування традиційної математики на "алгебру" та "топологію" як окремі гілки незручні, навіть безглузді, оскільки алгебра, як правило, першого порядку, тоді як топологія має шанс мати справу з аспектами вищого порядку. Отже, у структурах, що використовуються в комп'ютерних науках, алгебра та топологія змішані. Насправді, я б сказав, вони мають тенденцію більше до топології, ніж до алгебри. Регіментація міркувань на "алгебру" та "логіку" - це ще один безглуздий поділ з нашої точки зору, оскільки алгебра має справу з рівняннями, а логіка стосується і всіх інших видів властивостей.

Повертаючись до свого запитання, напівгрупи та моноїди досить інтенсивно використовуються в теорії автоматів. Ейленберг написала двотомну збірку , друга з яких майже повністю є алгеброю. Мені кажуть, що він планував чотири томи, але його вік не дозволив закінчити проект. Жан-Ерік Пін має модернізовану версію багато цього вмісту в онлайн-книзі . Автомати - це "моноїдні модулі" (їх також називають моноїдними діями або "актами"), які знаходяться на потрібному рівні загальності для інформатики. Традиційні кільцеві модулі, ймовірно, занадто специфічні.

Теорія решітки була основною силою розвитку денотаційної семантики. Топологія була змішана з теорією ґрат, коли комп'ютерні вчені спільно з математиками розробляли безперервні ґрати і потім узагальнювали їх у сферах . Я б сказав, що теорія домену - це власна математика вчених, про яку традиційна математика не знає.

Універсальна алгебра використовується для визначення алгебраїчних специфікацій типів даних . Потрапивши туди, вчені-комп’ютери одразу виявили необхідність розібратися з більш загальними властивостями: умовними рівняннями (їх ще називають рівняльними роговими застереженнями) та логічними властивостями першого порядку, використовуючи все ті ж ідеї універсальної алгебри. Як ви зазначили, алгебра тепер зливається в теорію моделей.

Теорія категорій є основою для теорії типів. Оскільки комп'ютерні вчені продовжують вигадувати нові структури для боротьби з різними обчислювальними явищами, теорія категорій є дуже втішною рамкою, в якій можна розмістити всі ці ідеї. Ми також використовуємо структури, які підтримуються теорією категорій, які не існують у "традиційній" математиці, наприклад, категоріях функторів. Також алгебра повертається до картини з категоричної точки зору у використанні монад та алгебраїчних теорій ефектів . Вугілля , які є дуалами алгебр, також знаходять велике застосування.

Так, у комп’ютерній науці широко застосовується «алгебра», але це не той вид алгебри, який зустрічається в традиційних підручниках з алгебри.

Додаткова примітка : Існує конкретний сенс, в якому теорія категорій - алгебра. Моноїд - це фундаментальна структура алгебри. Він складається з бінарного оператора "множення", який асоціативний і має тотожність. Теорія категорій узагальнює, зв'язавши «типів» до елементів моноїд, . Ви можете «помножити» елементи тільки тоді , коли типи збігаються: якщо і тих . Наприклад, матриці мають операцію множення, що робить їх моноїдом. Однак матриць (де і$a : X \rightarrow Y$$a : X \rightarrow Y$$b : Y \to Z$$ab : X \to Z$$n \times n$$m \times n$$m$$n$можуть бути різними) утворюють категорію. Таким чином, моноїди - це окремі випадки категорій, що мають один тип. Кільця - це окремі випадки категорій добавок, які мають один тип. Модулі - це особливі випадки функторів, де категорії джерела та цілі мають один тип. Так далі. Теорія категорій - це типова алгебра , типи якої роблять її нескінченно більш застосовною, ніж традиційна алгебра.

Моя улюблена за весь час улюблена програма теорії груп у TCS - теорема Баррінгтона. Ви можете знайти виклад цієї теореми на блозі про складність , а виклад Баррінгтона - у розділі коментарів цього допису.

Групи, кільця, поля та модулі є скрізь обчислювальною топологією. Особливо дивіться роботи Карлссона та Зомородяна [ex: 1 ] про (багатовимірну) стійку гомологію, що стосується градуйованих модулів над основними ідеальними областями.

Ось дуже приємне, практичне використання: алгоритм обчислення підключення графів (від FOCS2011 ). Для обчислення s-> t зв’язності графа автори дають алгоритм, який призначає випадкові вектори із записами, проведеними від кінцевого поля до виворітних країв s, а потім будують подібні вектори для всіх ребер у графіку, беручи випадкові лінійні комбінації і, нарешті, виявляють зв’язок, обчислюючи ранг результуючих векторів, присвоєних внутрішнім краям t.

Решітки та фіксовані точки лежать в основі аналізу та верифікації програм. Хоча просунуті результати теорії решітки використовуються рідко, оскільки нас турбують такі алгоритмічні питання, як обчислення та наближення фіксованих точок, тоді як дослідження в теорії решіток мають інший фокус (зв'язки з топологією, теорією подвійності тощо). У початкових реферативних документах інтерпретації використовується основна теорія решітки. Робота Роберто Джакобацці та його співробітників використовує більш досконалі результати.

У розподілених обчисленнях знаменита сім'я результатів неможливості була отримана за допомогою методів алгебраїчної топології (Див. Роботи Моріса Герліхія та Ніра Шавіта).

[Редагувати: Див. Додатки топології до інформатики .]

Універсальна алгебра є важливим інструментом вивчення складності проблем задоволення обмежень.

Наприклад, Концепція дихотомії стверджує, що, грубо кажучи, проблема задоволення обмеженнями для кінцевої області є вирішуваною або NP-повною, або поліноміально-часовою. Зауважимо, що за теоремою Ладнера є проблеми в NP, які не в P і не NP-повні, якщо тільки P = NP, тому гіпотеза говорить про те, що ЦСП особливі тим, що мають дихотомію, якої не мають великі класи складності. Це також дасть певне пояснення, чому більшість проблем, з якими ми стикаємось на практиці, можна класифікувати як NP-повне, або P.

Дихотомії були доведені для декількох спеціальних випадків, наприклад, ДСП бінарних доменів (Шефер) і ТСП з потрійним доменом (Булатов), а також гомоморфізми в ненаправлених графах (Пекло і Несетрил). Але загальна справа досить відкрита. Однією з основних ліній нападу є універсальна алгебра. Дуже орієнтовно (і я точно не є експертом у цьому!) Визначається поліморфізм CSP як функція домену CSP, яка залишає задоволеними всі обмежені обмеження, якщо він застосовується до кожної змінної. Сукупність поліморфізмів ДСП в деякому сенсі фіксує її складність. Наприклад, якщо CSP A допускає всі поліморфізми CSP B, тоді A є поліноміальним часом, зведеним до B. Множина поліморфізмів утворює алгебру, структура якої здається корисною при визначенні алгоритмів / демонстрації скорочень. Наприклад, якщо алгебра поліморфізму CSP є безсильною і приймає одинарний тип, тоді CSP є NP-повним. Ідентифікація - це спрощене припущення, яке можна зробити більш-менш без втрати загальності. Показано, що ДСП, алгебра якої невластива і не допускає одинарного типу, може бути вирішена в поліноміальний час, доведе до Концепції Діхотомії.

Дивіться опитування Булатова: http://www.springerlink.com/content/a553847g6h673k05/ .

Ось два додатки з іншої частини TCS.

Семірінги використовуються для моделювання анотацій у базах даних (особливо тих, що потрібні для походження), а часто також і для структур оцінювання із задоволенням оціненого обмеження. В обох цих додатках окремі значення повинні поєднуватися разом способами, які природно призводять до структури семірування, з асоціативністю та однією операцією семірування, що розподіляється над іншою. Що стосується вашого запиту про модулі, то в цілому жоден моноїд не має зворотного.

• Тодд Дж. Грін, Григоріс Карвунаракіс та Вал Таннен. Провенанс півкільця , стручки 2007. DOI: 10,1145 / +1265530,1265535 ( препринт )
• Стефано Бістареллі, Уго Монтанарі та Франческа Россі. Півкільце на основі задоволення обмежень і оптимізації , JACM 1997. DOI: 10,1145 / +256303,256306 ( препринт )

Кільця, модулі та алгебраїчні різновиди використовуються для виправлення помилок і, загалом, теорії кодування.

Зокрема, існує абстрактна схема виправлення помилок (алгебраїко-геометричні коди), яка узагальнює коди Ріда-Соломона та китайські коди Ремайндера. В основному схема полягає у тому, щоб ваші повідомлення надходили з кільця R і кодували його, приймаючи його залишки за модулем безлічі різних ідеалів у Р. За певних припущень щодо R, можна довести, що це робить гідний код виправлення помилок.

У світі розшифровки списку останній документ Гурусвамі дає лінійно-алгебраїчний метод розшифровки списку складених кодів Рід-Соломона, який має приємну властивість, що всі кандидатські повідомлення лежать у низькомірному афінному підпросторі простору повідомлень . Можна побудувати ухилення наборів підпростору , множини яких майже такі ж великі, як і весь простір, але мають невеликий перетин з кожним низькомірним афінним підпростором. Якщо ви обмежуєте повідомлення, які надходять з уникнення підпростору всередині простору повідомлень, тоді схема Гурусвамі дає алгоритм, який гарантує приємний розмір списку. Наразі єдину явну конструкцію ухильних наборів підпростору надають Dvir та Lovett у своїх майбутніх паперах STOC, Підпространство уникнення наборів і побудуйте набір, взявши конкретний афінний сорт (і взявши його декартовий продукт із собою).

Ознайомтеся з теорією Рамзі - це в основному суттєве узагальнення принципу голубових отворів, який лежить в основі безлічі автоматичних та формальних теорій мови (або я повинен сказати, принцип голубого отвору є найпростішим випадком теорії Рамзі). Це в основному говорить про те, що навіть сильно невпорядковані структури, як виявляється, обов'язково містять багато порядку, якщо вони досить великі. Наведемо невеликий приклад трохи більше принципу «голуби», зауважте, що якщо взяти будь-яке шість людей, то або троє з них взаємно знають один одного, або троє взаємно не знають один одного.

Цей документ виглядає як приємне місце для зв’язків з інформатикою, але ви можете шукати в Google ще більше. За своєю основною природою він більше комбінаторний, ніж алгебраїчний, але має багато застосувань в алгебри та теоретичному КС.

А також ознайомтеся з історією винахідника, Френка Рамзі - справді чудового поліма, який зробив фундаментальні, навіть революційні внески в економіці та філософії, а також математиці, багато хто не оцінив їх набагато пізніше, все до того, як помер у віці 26 років - просто подумай! Насправді оригінальна теорема Рамзі, основа теорії Рамзі, була простою лемою в роботі з більшою метою математичної логіки.

Аналіз будь-якої проблеми з великою симетрією полегшується за допомогою теорії груп. Прикладом може бути пошук алгоритмів таких речей, як кубик Рубіка. Хоча я не знаю деталей, я впевнений, що для того, щоб довести, що Боже число 20, вимагало серйозної групової теоретичної обрізки. В іншому контексті практичні розв'язувачі задачі ізоморфізму графів, наприклад, Наути, використовують групу автоморфізму графа.

Алгебра (і алгебраїчна геометрія) відігравала досить велику роль у криптографії, з еліптичними кривими групами, (теоретико-числовими) гратами, і звичайно є основою майже для всіх сучасних криптографічних робіт.$\mathbb{Z}_p$

У функціональному програмуванні найзагальніші та найелегатичніші абстракції проблем часто мають алгебраїчний (або категорично-теоретичний) характер: моноїди, семірінг , функтори, монади, F-алгебри, F-вуглегебри тощо. Деякі класичні результати (наприклад, Йонеда лема), можливо, мають обчислювальний зміст та корисність.

Також існує теорія типу гомотопії, яка інтерпретує теорію типів у (на зразок) алгебраїчної топологічної установки.

Нещодавно ми досліджуємо (див. Нашу статтю про Springerlink: Офіційне серійне уніфікація частих підходів до видобутку наборів предметів ) спроба уніфікації моделювати підходи до видобутку (популярний екземпляр видобутку даних) за допомогою формальних рядів і зважених автомати. Ці інструменти базуються на відображенні між моноїдами та семирующими структурами.