Побудова векторів у загальному положенні

Нехай справжня $k\times n$ ( $k\le n$ ) матриця ${\bf A}$ має властивість, що будь-яка колекція $k$ стовпців має повний ранг.

Q: Чи існує ефективний спосіб детерміновано знайти вектор ${\bf a}$ таким, що доповнена матриця ${\bf A}' = [{\bf A}\;{\bf a}]$ зберігає те саме властивість, що й ${\bf A}$ : будь-які $k$ стовпці мають повний ранг.

Відповідне Sidenote: Матриця, яка має цю властивість, є генератором $(n,k)$ коду Рід-Соломона: додавання стовпців, що зберігають його структуру Вандермонд, зберігає властивість рангу.

— Димитріс
джерело

Я не впевнений, чи розумію вашу думку. Мені потрібно

k \leq n

$k\le n$ ,

k = n

$k=n$ - це не проблема.

— Димитріс

@ Jɛ ﬀ E k не змінюється: у випадку k = n лише n (1) стовпців n + 1 має бути повним рангом. У цьому випадку проблема повинна бути простою: знайти афінну трансформацію матриці на ортогональну основу R ^ n, а потім нехай вектор - вектор, зображенням якого під цим є вектор 1s.

— Суреш Венкат

Мені здається, що це має бути спосіб зробити це через Grassmanian, але я не зовсім розумію як.

— Суреш Венкат

a

${\bf a}$

k

$k$

(k - 1)

$(k-1)$

приємне запитання. Наскільки я знаю, це слабша версія проблеми перевірки властивості обмеженої ізометрії, яка широко відкрита.

— Сашо Ніколов

$\mathbf{a}$ $[0,1]^n$ $[\mathbf{A}~ \mathbf{a}]$ $1$

— Джефф
джерело

Я не можу не погодитися :). Проблема виникає, коли ви хочете перевірити, чи працює такий вектор (незалежно від того, чи він так працює). Ви повинні перевірити підмножини стовпців. Ця проблема перевірки стає більш актуальною, якщо враховувати кінцеві поля (фіксованого порядку), але я намагався уникати розмов про них.

(\binom{n}{k})

${{n}\choose{k}}$

— Димитріс

Питання конкретно задає ефективний детермінований алгоритм. Якщо ви відповідаєте на щось пов’язане, але не відповідає умові, викладеній у запитанні, ви повинні сказати це прямо на мою думку.

— Цуйосі Іто

@TsuyoshiIто що, кошенята вам не подобаються? :)

— Суреш Венкат

@Suresh: На практиці було б кумедно, якщо мій комп'ютер раптом перетвориться на кошеня. Однак теоретично спочатку потрібно визначити кошеня.

— Цуйосі Іто

@ Jɛ ﬀ E Можливо, я мав би пояснити, чому це питання викликає певний інтерес. Справжнє питання те саме, але над кінцевими полями, але я схильний вважати, що поля ускладнюють питання лінійної алгебри. Додаток - це розробка "хороших" матриць генератора коду. Випадкові (iid записи) можуть бути показані для задоволення властивості whp, використовуючи такі інструменти, як лемма Шварца-Зіппеля. Для цієї проблеми SZ зазвичай вимагає польових порядків і ви не можете ефективно перевірити, чи дійсно працюють матриці. Чому це важливо? Тому що коди, які, ймовірно, є надійними, іноді не є бажаними.

O (2^{k})

$O(2^k)$

— Димитріс