графіки, де забарвлення вершин є в P, але незалежна множина

19

Чи є приклад класу графіків, для якого проблема фарбування вершин є в P, але незалежна множина - проблема NP NP?

cc.complexity-theory graph-theory complexity-classes

— Анкур
джерело

1

є сенс, в якому обчислення будь-якого з них, мабуть, щільно з’єднане, див. сендвіч-ТМ lovasz тощо

— vzn

21

Можливо, більш загальне твердження (з легким доказом) полягає в тому, що наступна проблема вже не завершена:

Введення: Графік G, 3-кольорове забарвлення G, ціле число k.

Питання: Чи має G незалежний набір розміром k?

Це можна довести зменшенням з незалежного набору. Зауважте, що якщо ми візьмемо графік G, виберемо деяке ребро і розділимо його двічі (тобто замінимо край {u, v} на шлях u, x, y, v, де x і y мають ступінь другого), то число незалежності G збільшується рівно на один. (Ви можете додати рівно один з x або y до будь-якого набору, який був незалежним у G, і зворотній не є складним.) Отже, питання, якщо графік G з m ребрами має незалежний набір розміром k, еквівалентний питанню чи G ', який є результатом підрозділу всіх ребер у G двічі, має незалежний набір розміром k + m. Але зауважте, що легко отримати 3-кольорове забарвлення G 'шляхом розподілу G' на три незалежні множини наступним чином: одна містить вершини, які також були в G, а інші два класи містять рівно одну з двох " підрозділ " вершини для кожного краю. Отже, ця процедура створює графік G 'з його 3-кольоровим забарвленням, таким чином, що обчислення його незалежного номера дає вам номер незалежності вихідного графіка G.

— Барт Янсен
джерело

4

Це зменшення також негайно доводить твердість незалежного набору в плоских графах, що не мають трикутників, з моєї відповіді, без посилання на важкодоступні документи.

— Девід Еппштейн

22

Нібито посилання "Проблеми, повні NP, на 3-з'єднаному кубічному площинному графіку та їх застосуваннях" Уехара (документ, якого я насправді не бачив) доводить, що незалежна множина є NP-повною навіть для плоских графіків, що не мають трикутників. Але за теоремою Гретца вони завжди триколірні, і тестування на меншу кількість кольорів, ніж 3, легко в будь-якому графіку, тому їх можна оптимально забарвити в P.

Графіки кіл мають протилежну властивість: для них забарвлення є NP завершеною, але незалежна задана проблема проста.

— Девід Еппштейн
джерело

2

Ви впевнені у кругових графіках? На сторінці вікі сказано, що "хроматичне число графіка кола може бути довільно великим, а визначення хроматичного числа графа кола є NP-повним".

— Анкур

На жаль, поверніть її назад. Виправимо.

— Девід Еппштейн

Спасибі. Було б чудово отримати інші приклади. Папір Уехари здається дещо ізольованою; не так вже й багато інших паперів, що цитують це. Я навіть не впевнений, чи був він перевірений та опублікований.

— Анкур

11

Це не нова відповідь, а скоріше роз’яснення першої та легкодоступної посилання на твердість НЕЗАЛЕЖНОГО СИТУ в кубічних плоских графах без трикутника: Примітка Оуена Мерфі, Обчислення незалежних наборів у графіках з великим діапазоном , Дискретна прикладна математика 35 (1992) 167-170 доводить це

$n$ $cn^k$ $c>0$ $k, 0\le k < 1$ .

(Зокрема, INDEPENDEN SET є NP-комплектом для кубічних плоских графіків без циклів довжиною менше $c$ для будь-якої постійної $c>0$ )

Скорочення, вказане @BartJansen, є особливим випадком у доказі Мерфі своєї теореми.

Для протилежного властивості лінійні графіки здаються більш природними, ніж кругові графіки, як звертається у @DavidEppstein. Для лінійних графіків КОЛЮВАННЯ - це NP-комплект, але НЕЗАЛЕЖНИЙ НАСТРОЙК легко

— user13136
джерело

6

Ще один цікавий приклад для протилежної властивості - клас добре охоплених графіків (див. Тут і тут ). Для них розмальовки важкі, але незалежний набір тривіально простий.

— vb le

графіки, де забарвлення вершин є в P, але незалежна множина - NP повна