Чи розділяє пару неперервних гомотопічних циклів у дуалі?

Дозволяє $G$ бути графіком, вбудованим на орієнтовану компактну поверхню роду $g$таким чином, щоб вкладка була стільниковою. Розглянемо дуал графа$G^*$. Дозволяє$C_1$ і $C_2$ бути неперервними циклами в $G^*$ які гомотопічні один одному і нехай $E_1$ і $E_2$ бути їх відповідними крайовими множинами в $G$відповідно. Є$G \setminus (E_1 \cup E_2)$ відключений графік?

Так. Дозвольте мені написати$\Sigma$ для поверхні, на якій $G$ і $G^*$ вбудовані.

Тому що цикли $C_1$ і $C_2$ є гомотопними, вони теж у тому ж $\mathbb{Z}_2$-клас гомології. Отже за визначенням симетрична різниця$C_1\oplus C_2$ є межею об'єднання деякої підмножини граней $G^*$; назвіть цей союз облич$U$. (Насправді, або$U$ або його доповнення $\Sigma\setminus U$ має бути анульовим, але це не важливо.)

Тому що $C_1$ і $C_2$ є непересічними, симетрична різниця $C_1\oplus C_2$ дорівнює союзу $C_1\cup C_2$. Зокрема, у нас є$C_1\oplus C_2\ne \varnothing$, з чого випливає, що і те, і інше $U$ та його доповнення $\Sigma\setminus U$є не порожніми. Іншими словами, надповерхня$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$ відключено.

Будь-який шлях в $G$ може розглядатися як шлях в $\Sigma$ що уникає вершин $G^*$, і навпаки (до гомотопії). Таким чином, (графік) складових$G\setminus (E_1\cup E_2)$ відповідають бієктично (поверхневі) компоненти $\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$. Ми робимо висновок, що$G\setminus (E_1\cup E_2)$ відключено.

Припущення, що $\Sigma$ орієнтується ніколи не використовується.