Перевірка формул з двома кванторами (

Розв'язувачі SAT дають потужний спосіб перевірити обґрунтованість булевої формули за допомогою одного кількісного показника.

Наприклад, для перевірки дійсності $\exists x . \varphi(x)$ , ми можемо використовувати розв'язувач SAT, щоб визначити, чи задовольняє . Для перевірки достовірності , ми можемо використовувати розв’язувач SAT, щоб визначити, чи задовольняє . (Тут - -вектор булевих змінних, а - булева формула.) $\varphi(x)$ $\forall x . \varphi(x)$ $\neg \varphi(x)$ $x=(x_1,\dots,x_n)$ $n$ $\varphi$

Розв'язувачі QBF призначені для перевірки обґрунтованості булевої формули з довільною кількістю кванторів.

Що робити, якщо у нас є формула з двома кванторами? Чи є якісь ефективні алгоритми перевірки дійсності: ті, які кращі, ніж просто використання загальних алгоритмів для QBF? Якщо бути більш конкретним, у мене є формула вигляду (або ), і потрібно перевірити його дійсність. Чи є для цього хороші алгоритми? Редагувати 4/8: Я дізнався, що цей клас формул іноді відомий як 2QBF, тому я шукаю хороші алгоритми для 2QBF. $\forall x . \exists y . \psi(x,y)$ $\exists x . \forall y . \psi(x,y)$

Далі спеціалізуюсь: У моєму конкретному випадку я маю формулу форми , обгрунтованість якого я хочу перевірити, де - функції, що виробляють бітний вихід. Чи існують якісь алгоритми перевірки обґрунтованості цієї конкретної формули, більш ефективні, ніж загальні алгоритми для QBF? $\forall x . \exists y . f(x)=g(y)$ $f,g$ $k$

PS Я не запитую про найгіршу твердість в теорії складності. Я запитую про практично корисні алгоритми (так само, як сучасні розв'язувачі SAT практично корисні для багатьох проблем, навіть якщо SAT не відповідає повному рівню).

— DW
джерело

не є по суті еквівалентним

\forall x \exists y ψ (x, y)

$\forall x \exists y \ \psi(x,y)$

\exists x \forall y ψ (x, y)

$\exists x \forall y \ \psi(x,y)$

— Гек Беннетт

Я думаю, що ОФ означає це неофіційно, оскільки вони обидва важкі для вирішення SAT, і що рішення будь-якого було б цікавим

— Суреш Венкат

@HuckBennett, я думаю, що у них однакова твердість. (Доказ:

справедливо тоді і тільки тоді

є Тому, якщо у нас є спосіб перевірити обгрунтованість формул виду.

, ми також можемо перевірити правильність формул

\exists x . \forall y . ψ (x, y)

$\exists x . \forall y . \psi(x,y)$

\neg \forall x . \exists y . \neg ψ (x, y)

$\neg \forall x . \exists y . \neg \psi(x,y)$

\forall x . \exists y . ψ (x, y)

$\forall x . \exists y . \psi(x,y)$

, дозволяючи

і перевіряючи дійсність

.) Але в будь-якому випадку мене цікавлять алгоритми для будь-якого випадку.

\exists x . \forall y . ψ (x, y)

$\exists x . \forall y . \psi(x,y)$

ψ^{'} (x, y) = \neg ψ (x, y)

$\psi'(x,y) = \neg \psi(x,y)$

\forall x . \exists y . ψ^{'} (x, y)

$\forall x . \exists y . \psi'(x,y)$

— DW

@DW, не обов'язково, наприклад, не вважається, що SAT і TAUT мають однакову складність.

— Каве

@chazisop: Я думаю , що ОП прошу

-SAT алгоритмів / решателей, а не загальні QBF решателей. Однак існує багато вирішувачів QBF. Дивіться вкладку "solvers" на qbflib.org

Π_{2} / Σ_{2}

$\Pi_2/\Sigma_2$

— Гек Беннетт

Відповіді:

Якщо я, можливо, досить відверто себе рекламую, ми написали статтю про цей минулорічний алгоритм на основі абстракції для 2QBF . У мене є реалізація для qdimacs, яку я можу надати, якщо хочете, але, з мого досвіду, можна отримати велику користь від спеціалізації алгоритму для певної проблеми. Існує також старіша стаття Порівняльне дослідження алгоритмів 2QBF , де також представлені досить легко реалізовані алгоритми.

— Миколас
джерело

Дивовижно! Дякую, Міколасе, це якраз та річ, на яку я сподівався.

— DW

Привіт @DW рада, що можу допомогти. Сподіваємось, ви знайдете щось із цього корисного. QBF - це зовсім інший звір, що до SAT треба бути трохи обережним, бо все може підірватися дуже легко :-). Не соромтеся написати мені електронний лист, якщо у вас є детальніші запитання щодо нашої роботи.

— Міколас

Я прочитав два документи, пов’язані з цим, один, що стосується 2QBF. Документи такі:

Поступова детермінація , Маркус Н. Рабе та Санджіт Сешія, теорія та застосування тестування на задоволення (SAT 2016).

Вони реалізували свій алгоритм в інструменті під назвою CADET . Основна ідея полягає в поетапному додаванні нових обмежень до формули, поки обмеження не описують унікальну функцію Сколема або поки не буде підтверджено відсутність.

Другий - поступове вирішення QBF , Флоріан Лонсинг та Уве Еґлі.

Реалізовано в інструменті під назвою DepQBF . Це не обмежує кількість чергування кількісних показників. Це починається з припущення, що у нас є тісно пов'язані формули qbf. Він заснований на поступовому вирішенні та не кидає зауваження, отримані під час останнього рішення. Він додає пункти та кубики до поточної формули і зупиняється, якщо пункти або кубики порожні, що представляють невстановлені або збережені.

Редагувати : Просто з точки зору, наскільки добре ці підходи працюють для орієнтирів 2QBF. Погляньте на результати QBFEVal-2018 щодо результатів щорічного змагання QBF QBFEVAL . У 2019 році не було доріжки 2QBF.

У 2QBF Track QBFEVAL-2018 DepQBF став переможцем , CADET був другим у гонці.

Тож ці два підходи насправді дуже добре працюють на практиці (принаймні, на показниках QBFEVAL).

— Пушпа
джерело

$\exists x \forall y \phi$ $D$ $a \in D$ $\neg \phi[a/x]$ $b \in B$ $a$ $\phi [b/y]$ $\phi$

— Самуель Шлезінгер
джерело

ϕ

$\phi$

ϕ

$\phi$

Це дуже приємно, є аналогія з змагальним машинним навчанням, якщо ви косаєтеся, і це справді працює для будь-якої доповненої решітки, де у вас є вирішувач сортів

— Самуель Шлезінгер