Варіанти прямих теорем про добуток

Пряма теорема про продукт неофіційно говорить, що обчислити екземпляри функції важче, ніж обчислити один раз.f $k$$f$$f$

Типові теореми прямого продукту (наприклад, XOR леми Яо) дивляться на середню складність випадку і стверджують (дуже приблизно), що не може бути обчислена схемами розміром з вірогідністю кращою , то копії не можна обчислити схеми розміром з вірогідністю кращими, ніж .s p k f s ′ < s p $f$$s$$p$$k$$f$$s' < s$$p^k$

Я шукаю різні типи теорем прямих добутків (якщо вони відомі). Конкретно:

(1) Скажімо, ми фіксуємо ймовірність помилки і замість цього нас цікавить розмір схеми, необхідний для обчислення копій ? Чи є результат, який говорить про те, що якщо не може бути обчислена схемами розміром з імовірністю кращою , то копії не можуть бути обчислені з ймовірністю кращою, ніж використовуючи схему розміром менше ?k f f s p k f p O ( k ⋅ s $p$$k$$f$$f$$s$$p$$k$$f$$p$$O(k \cdot s)$

(2) Що відомо стосовно найгіршої складності? Наприклад, якщо не може бути обчислена (з 0 помилками) за допомогою схем розміру , що можна сказати про складність обчислення копій (з помилкою 0)?s k $f$$s$$k$$f$

Будь-які посилання будуть вдячні.

(1): Це питання було вивчено у статті "До доказу сильних теорем прямого добутку" Ронена Шалтіеля, і виявляється, що така думка хибна: Наприклад, можливо, що можна обчислити з вірогідністю з розміром набагато меншим, ніж , і лише додаткова маса ймовірності вимагає розміру . У такому випадку при обчисленні на екземплярах схема може вирішити на більшості екземплярів розміром, значно меншим за , і розмір потребуватиме лише кількох екземплярів.0,99 ∗ p s 0,01 ∗ p s f k f s $f$$0.99 * p$$s$$0.01 * p$$s$$f$$k$$f$$s$$s$

(2): Для формул та монотонних схем відома пряма теорема про найгірший складність, але, як відомо, для загальних схем помилкова. Для легкого прикладу розглянемо функцію яка розглядає її вхід як вектор і помножує його на деяку фіксовану булеву матрицю. Тоді для обчислення функції може знадобитися розмір , але обчислення її в екземплярах можна зробити набагато швидше, ніж використовуючи алгоритм множення матриці. Ви можете детально обговорити цю тему в книзі "Складність булевих функцій" Інго Вегенер - див. Розділ 10.2 тут:$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$$n \times n$$f$$n^2$$n$$n^3$http://eccc.hpi-web.de/static/books/The_Complexity_of_Boolean_Functions/ .

Тільки для доповнення відповіді Ор були вивчені питання аромату (1) [скільки ресурсу потрібно, щоб добре виконати k-копії], і відповідні теореми називаються "теоремами прямої суми". Як і у випадку із теоремами про прямі вироби, теореми прямої суми можуть бути, а можуть і не мати місце, залежно від установки.