Уточнення парного наближення для мережевого аналізу

Розглядаючи взаємодію в мережах, зазвичай важко обчислити динаміку аналітично , і застосовуються наближення. Наближення середнього поля, як правило, повністю ігнорують структуру мережі, і тому рідко є гарним наближенням. Популярним наближенням є наближення пари, яке розглядає кореляції, притаманні між сусідніми вузлами (інтуїтивно ми можемо вважати це типом апроксимації середнього поля на ребрах).

Наближення точне, якщо ми розглядаємо графіки Кейлі, і дуже добре, якщо ми дивимось -регулярні випадкові графіки. На практиці він також дає хороші наближення для випадків, коли у нас є випадковий графік із середнім ступенем та щільним розподілом градусів навколо . На жаль, велика кількість мереж та взаємодій, які представляють інтерес, недостатньо змодельовані цими графіками. Вони, як правило, добре моделюються графіками з дуже різними ступенями розподілу (наприклад, безмасштабні мережі, наприклад), з конкретними (і високими) коефіцієнтами кластеризації або конкретною середньою найкоротшою дистанцією (детальніше див. Альберт і Барабасі 2001 ) .$k$$k$$k$

Чи є уточнення парного наближення, які добре працюють для цих типів мереж? Або є інші аналітичні наближення?

Приклад взаємодії в мережах

Я думав, що наведу приклад того, що я маю на увазі під взаємодією в мережах. Я включу відносно загальний приклад з теорії еволюційних ігор.

Ви можете розглядати кожен вузол як агент (зазвичай представлений просто стратегією), який грає в якусь фіксовану гру попарно один з одним агентом, до якого він має перевагу. Таким чином, дана мережа з певним призначенням стратегії кожному вузлу виробляє окупність для кожного вузла. Потім ми використовуємо ці виплати та мережеву структуру для визначення розподілу стратегій між вузлами для наступної ітерації (загальним прикладом може бути кожен агент для копіювання сусіда з найбільшою виплатою, або якийсь імовірнісний варіант цього). Питання, які нас зазвичай цікавлять, знаючи кількість агентів кожної стратегії та те, як це змінюється понаднормово. Часто ми маємо стабільне розповсюдження (яке ми тоді хочемо знати, або наблизити) або іноді обмежуємо цикли або навіть більш екзотичні звірі.

Якщо ми робимо наближення середнього поля для такої моделі, ми використовуємо отримане рівняння реплікатора як нашу динаміку, яка відверто ігнорує структуру мережі та точна лише для повних графіків. Якщо ми будемо використовувати парне наближення (як Ohtsuki & Nowak 2006 ), ми отримаємо дещо іншу динаміку (це фактично буде динаміка реплікатора зі зміненою матрицею виплат, де модифікація залежить від ступеня графіка та специфіки кроку оновлення) що добре відповідає моделюванню для випадкових графіків, але не для інших мереж, що цікавлять.

Для додаткової фізики, як, наприклад, замініть агенти накрутки і викликайте матрицю виплат взаємодією Гамільтоніана, а потім охолодіть вашу систему, виконуючи періодичні випадкові вимірювання.

Примітки та відповідні запитання

• Прямі узагальнення парного наближення роду, які вважають типом апроксимації середнього поля на трійки або чотиричлени вузлів), є непростими і все ще не враховують дуже різного ступеня розподілу або середнього найменшого відстані.

• Джерела алгоритмічної еволюційної теорії ігор

Загалом, вас можуть зацікавити спектральні методи в теорії графів, оскільки вони є потужним інструментом. Ви можете проаналізувати власні значення матриці суміжності графа (або матриці Лаплаціана графіка ).

Такі методи враховують не лише локальні властивості графіка (наприклад, розподіл ступенів), але й глобальні (наприклад, з'єднання, наявність чи відсутність ярликів). Зокрема, спектр безпосередньо пов'язаний з кількістю пар, трикутників та найкоротшим шляхом (див. Другу посилання).

В якості довідки (я лише пробирав їх, але вони виглядають корисними):

• S. Boccaletti та ін. (Phys Rep 2006), Складні мережі: Структура та динаміка (або тут )
• К.-І. Goh et at. (PRE 2001), Спектри та власні вектори безмасштабних мереж, arXiv: cond-mat / 0103337

Те, як ви формулюєте своє запитання, звучить так, як ви дбаєте про динаміку, але оскільки те, що ви шукаєте, здається стабільним рішенням, наземні стани здаються набагато більш продуктивним шляхом пройти вниз.

Оскільки ви хочете вийти за парне наближення, найбільш природним методом кандидата, здається, є матричні добутки , що на сьогодні є досить гарячою темою для роботи з квантовими станами землі. Спосіб роботи цього підходу полягає в основному шляхом введення максимально заплутаних пар між вузлами та в кожному вузлі, введення проектора. Додаючи системи більш високих розмірів, ви отримаєте більше можливостей графіка. Я знаю, що ваша проблема, ймовірно, не є квантовою, але я не розумію, чому ця методика все-таки не повинна працювати. Ви повинні мати можливість просто замінити заплутані стани на$\frac{1}{2}(|00\rangle \langle 00| + |11\rangle \langle 11|).$

Крім того, я не впевнений, що це саме те, що ви шукаєте чи ні, але є останні результати щодо реалізабельності безмасштабних мереж, показуючи, що вони демонструють двофазний перехід, який, здається, щойно прийнято PRL. Переддрук під назвою "Усі безмасштабні мережі рідкі" можна знайти як arXiv: 1106: 5150 .

Дві речі, які ви можете подивитися:

Алгоритмічна теорія ігор гл. 7: Графічні ігри

Коливання еволюційних ігор

Перший стосується того, як знайти рівноваги в іграх чи спинових системах, як ви описали. Окремі метастратегії для прийняття стратегії (зокрема, ідентична вибірці Гіббса, що призводить до корельованої рівноваги) дозволяють зробити дуже загальні, простежувані аналізи.

Друга спроба передбачити великі коливання або зміни «норм» в еволюційній теорії ігор, використовуючи теорію великих відхилень. Розглянуті приклади є дрібномасштабними, але автор намагається зробити математичну техніку, якою він користується, максимально загальну та потужну, тому це може бути застосовно до вашої справи.