Наскільки важка мафія?

Мафія - популярна рольова гра на вечірках, детальний опис розміщений на wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Mafia_%28game%29 .

В основному це працює так:

• На початку кожному з гравців таємно відводиться роль, або узгоджена з Мафією, або з Містом. Кожна роль може мати особливі здібності; докладніше про це пізніше.$N$

• Є дві фази гри: день і ніч. Вночі мафія може таємно спілкуватися між собою; і вони можуть домовитись про одного цільового гравця, якого вони вночі вбивають. У день усі (живі) гравці спілкуються на відкритому форумі. Гравці можуть погодитися лінчувати одного гравця, абсолютна більшість всіх гравців потрібна.

• Гра закінчується, якщо залишився лише мафія, або залишився лише Таун. Перемагає партія, що вижила.

• Припустимо, що існує три ролі: «Громадянин», «Слідчий» та «Мафіозо». Громадяни не мають повноважень. Мафіозі також не має здібностей, крім того, щоб спілкуватися один з одним вночі та голосувати за одну жертву вбивства щовечора. Слідчі можуть розслідувати ще одного гравця щовечора, з’ясовуючи їхню точну роль.

• Припустимо, гра починається з дня, і що роль гравця виявляється після смерті

Виграючі стратегії

З огляду на установку від я слідчих, з Citizen і м мафіозі, ми говоримо , що установка виграш для міста , якщо є стратегія для Міських гравців, таким чином, що вони переможуть, незалежно від того , як Грає мафія.$(i,c,m)$$i$$c$$m$

Зауважте, що ми можемо вважати, що мафія грає з повною інформацією, оскільки ми хочемо врахувати будь-яке рішення, яке вони можуть прийняти.

Приклад: Установка виграє для Town.$(4,1,1)$

День 1: Усі гравці міста правдиво повідомляють про свою роль у відкритому чаті. Гравець мафії повинен претендувати на те, що він є або слідчим, або громадянином.

Якщо він претендує на Громадянина, то мафіозо є одним із двох передбачуваних громадян. Кожен слідчий може розслідувати будь-який, і з’ясує справжній. Щонайменше один слідчий може померти в ніч, а два інших просто повісять мафіозу.

Отже, мафіозо повинен вимагати слідчого. Є 5 передбачуваних інвесторів. У відкритому чаті слідчі домовляються про перестановку, щоб перевірити один одного.

Ніч 1: Слідчі перевіряють цілі, а Мафіосо вбиває.

День 2: Залишилося 3 слідчих. Усі передбачувані слідчі повідомляють про свої висновки. Незалежно від того, хто був убитий, принаймні один з них також підтверджений іншим живим слідчим. Оскільки мафіозо вимагав слідчого, йому також потрібно сказати, чи призначена йому мета була мафією чи ні. Якщо він когось обрамляє, то місто знає, що або він, або ображений - мафія, проти іншого підтвердженого 3 міста. Якщо він нікого не обрамляє, також буде 3 підтверджене місто. Так чи інакше, не вішаючи нікого і розслідуючи єдиних двох підозрюваних, які підозрюються, виграє Таун.

Запитання

• Наскільки важко вирішити, чи дана установка визнає виграшну стратегію для Town? Інтуїтивно це звучить як -повна проблема. Чи може хтось придумати зменшення?$PSPACE$
• Чи можемо ми знайти мінімально виграшні налаштування? Як ми можемо мінімізувати співвідношення або ( i + c ) : m ?$i:m$$(i+c):m$

Ось посилання, яке ви хочете подивитися: http://www.jstor.org/stable/10.2307/25442651

Мафія: теоретичне дослідження гравців та коаліцій у частковому інформаційному середовищі Браверман, М. та Етесамі, О. та Моссель, Е. Анали прикладної ймовірності 2008

Перш за все, зауважте, що завжди вигодно починати гру з того, щоб запитувати кожного громадянина про їх роль, якщо ми шукаємо детерміновану стратегію виграшу для Town. Це тому, що якщо незалежно від того, що мафіозі оголошують себе, що місто перемагає, запитувати, очевидно, не шкода. І якщо мафіозі можуть заявити про себе і перемогти в такому випадку, то вони роблять вигляд, що зробили декларацію і діяли відповідно.

Крім того, така гра, ймовірно, не буде завершеною PSPACE, оскільки немає базової структури. Я твердо переконаний, що проаналізувати гру на всі значення i, c, m не важко. Нижче я це роблю для m = 1. Отже, відтепер припустимо, що є лише один мафіоз, M, і гра починається із запиту ролей. Тепер М або претендує на слідчого або на громадянина. Перевіримо обидва випадки.

Випадок 1: М вимагає слідчого

Якщо i = 0, то Town виграє, якщо c принаймні 2.

Якщо i = 1, то Town виграє, якщо c принаймні 4. Для меншої кількості вони програють, оскільки M може вбивати громадянина щовечора.

Якщо i = 2, то Таун виграє, якщо c принаймні 3. 3 передбачуваних слідчих можуть запитати один одного у круговому порядку. М виявляється, якщо хтось із них не вмирає, тому він повинен вбити слідчого. Це зводить гру до випадку i = 1.

Якщо i = 3, то Town виграє, якщо c принаймні 1. 4 передбачуваних слідчих можуть запитати один одного в круговому порядку. М виявляється, якщо хтось із них не вмирає, тому він повинен вбити слідчого. Зараз залишилось (максимум) дві можливості для М та щонайменше 5 людей, щоб вони могли вбити обох. Якщо c = 0, то як би вони не запитували одне одного, M завжди може когось убити і залишатися прихованим (шляхом аналізу випадків), тож у Таунта немає детермінованої виграші.

Якщо i> = 4, то Таун виграє передбачувані слідчі, які запитують один одного в круговому порядку, як у випадку i = 3.

Випадок 2: М претензії громадянина

Тут гра набагато простіша, слідчі просять різних людей у ​​кожному раунді, і M щовечора вбиває одного з них (краще вбити слідчого, ніж громадянина). Крім того, іноді вони можуть проголосувати за вбивство громадянина (насправді, це завжди нормально, якщо не робити i = 2 і c = 1). Через використання рекурсії краще також дозволити громадянам, які виявилися невинні, і позначити їх кількість n.

Місто перемагає, якщо

i = 0, n> = c + 2, i = 1, n> = c + 1, i = 2, n> = c-2, і звідси ми можемо побачити (а також легко довести), що для загального i Town виграє тоді і тільки тоді, коли n> = c + 2-i ^ 2. Оскільки в реальній грі на початку немає невинних громадян, це означає, що місто виграє, якщо i ^ 2> = c + 2.

Якщо скласти це разом: місто не має детермінованої виграші, якщо i <= 2. Для i = 3, Town виграє за 1 <= c <= 7 (так як для 0 M може претендувати слідчий, а для c> = 8 він може претендувати на громадянина). Для i> = 4, місто виграє за c <= i ^ 2-2.