Булева помилка виправлення коду над

Чи відома побудова лінійного коду, що виправляє помилку (з розумними параметрами), таким, що коли задається булевий вектор , він також повертає булевий вектор whp? (хоча це більше ) $\mathsf{ECC}:\mathbb{F}_q^n \to \mathbb{F}_q^m$ $v\in \{0,1\}^n$ $\mathbb{F}_q$

(тобто , де ймовірність переймається рівномірно вибираючи , а довільно малий) $\Pr[\mathsf{ECC}(v) \in \{0,1\}^m]>1-\epsilon$ $v\in \{0,1\}^n$ $\epsilon$

Якщо ні, то що, якщо ми послабимо умову до

Pr [{E C C}_{i} (v) \in {0, 1}] > 1 - ϵ

$\Pr[\mathsf{ECC}_i(v) \in \{0,1\}]> 1-\epsilon$ Де

{E C C}_{i}

$\mathsf{ECC}_i$ повертає

i

$i$ '-ю координату з

E C C

$\mathsf{ECC}$ ,

ϵ

$\epsilon$ як завгодно мала, а ймовірність береться як більш рівномірно вибираючи

v \in {0, 1}^{n}

$v\in \{0,1\}^n$ і рівномірно вибираючи координат

i \in [m]

$i\in[m]$ .

co.combinatorics linear-algebra coding-theory

Чи не цікаво, чи є у вас якісь програми?

— Цуйосі Іто

Так, у мене фактично є кілька додатків для коду з виправленням помилок з таким властивістю. Однак я вважаю, що неможливо пояснити в межах коментаря. Ви можете зв’язатися зі мною поштою, якщо вас цікавить.

Дякую за відповідь. Якщо це не впишеться в коментар, я, мабуть, не встигаю все-таки зрозуміти всю річ, тому я залишу її такою, якою вона є. Дякую!

— Цуйосі Іто

Так. Наприклад, код Рід-Соломона містить BCH-код, який є двійковим лінійним кодом, як під-код. Вони називаються підполі-підкодами.

— Махді Черагчі
джерело

Чи означає це, що з урахуванням (лінійного у F_q) коду Ріда-Соломона ймовірність того, що код поверне двійкове кодове слово з даними двійкового вводу, дорівнює 1? Чи можете ви, будь ласка, направити мене на деякий папір / опитування, в якому я можу прочитати про цю властивість більш докладно? Я трохи новачок в теорії кодування. Дякую!

Найкраща посилання, яку можна прочитати про двійкові коди BCH, - це класичні текстові книги "Теорія виправлення помилок кодів" MacWilliams та Sloane, а також "Вступ до теорії кодування" Ван Лінта.

— Махді Черагчі

@TomGur: Я не впевнений, що BCH-коди відповідають вашим вимогам. Певною мірою відповідь залежить від того, скільки обчислювальних зусиль ви хочете, щоб декодер доклав до завдання. Декодери "поза полицею" є декодерами обмеженої відстані, і коректують лише до унікальної межі декодируемости (<половина мінімальної відстані). Для BCH-кодів незначна частка бінарного простору знаходиться поза діапазоном, і в результаті виникне помилка декодера. Просто мати код недостатньо, якщо ви не деталізуєте алгоритм декодування (не всі ECC мають відомий ефективний).

— Jyrki Lahtonen