Пошук дуалу графа

Відповідно до теорії топологічного графіка книги Гросса та Таккера, з урахуванням клітинного вбудовування графіка на поверхню (під «поверхнею» я маю на увазі тут сферу з деякими ручками, а нижче S n позначає сферу з точно n ручки), можна визначити подвійний мультиграф, обробляючи грані вбудованого оригінального графа як вершини і додаючи ребро між двома вершинами для кожної сторони, відповідні грані мають спільне в початковому графіку.$n\geq 0$$S_n$$n$

Ось моя проблема . З огляду на графік , мені потрібно знайти інший граф G ' таких , що існує поверхню S і клітинне вкладення G на S таких , що G ' є двоїстим цим вкладенням G . Я знаю, що існує багато можливих графіків G ′ ; Мені просто потрібно знайти для будь-якого графа G .$G$$G'$$S$$G$$S$$G'$$G$$G'$$G$

У мене є кілька питань . Моя поточна стратегія полягає в (1) визначає рід з G , (2) знайти вкладення G на S п , і (3) знайти двоїсті це вкладення. Усі ці кроки мають відомі алгоритми (хоча (1) є NP-Hard). Цікаво, чи існує спосіб знайти G ', який обходить обчислення роду, оскільки це вузьке місце цього підходу, і це моє перше питання. Друге моє запитання: Якщо я знаю, що G регулярний, чи може це полегшити обчислення роду? І моє третє питання - це запит на будь-які посилання, які можуть допомогти мені вирішити цю проблему.$n$$G$$G$$S_n$$G'$$G$

Чи має ваш подвійний рід мінімального роду? Оскільки тривіально знайти стільникове вбудовування для будь-якого графіка: просто виберіть кругову впорядкованість для ребер, що падають на кожну вершину, довільно, а потім визначте грані вбудовування як послідовності ребер, що відповідають обраним порядкам.

Мені подобається GEM (карта, кодована графіком) зображення вкладки з книги «Основи теорії топологічної графіки» Беннінгтона та Літтла. У цьому зображенні вбудовування представлено 3-кратним кольоровим 3-правильним графіком з однією вершиною для кожного прапора вбудовування (трапляюча потрійна вершина, край та грань) та одним краєм для кожного двох прапорів, які відрізняються лише один із елементів наборів вершин / країв / обличчя, які вони представляють. Наприклад, наведене нижче зображення з Вікіпедії можна інтерпретувати як GEM звичайного додекаедра, в якому червоні цикли представляють його грані, жовті цикли представляють його краї, а сині цикли представляють його вершини; краї можуть бути пофарбовані відповідно до кольорів двох їх облич.

З огляду на круговий упорядкування країв графіка G, його GEM можна знайти, склавши цикл 2d вершин для кожної вершини градуса G, дві для кожного ребра, з парами вершин для кожного падаючого краю, що виникає в цикліть у вибраному круговому порядку, а потім для кожного краю e G пов'язуйте дві пари ребер GEM для двох кінцевих точок e у прямокутник. Якщо ви хочете орієнтоване вбудовування, вибір способу з'єднання цих чотирьох вершин у прямокутник повинен відповідати круговим упорядкуванням, інакше це може бути довільним.

Потім вершини, краї та грані вбудовування G представлені циклами в GEM, які чергуються між двома з трьох кольорів ребер. Подвійний G представлений GEM з тим самим базовим 3-правильним графіком, але двома його крайовими кольорами, що поміняються. А графік, представлений GEM, може бути сформований шляхом стиснення всіх його вершинних циклів і об'єднання пар паралельних ребер в одиничні ребра. Тож побудова дуалу G (доки вам не байдуже, який здвоєних) можна легко здійснити за лінійним часом.