Чи випадковість купує у нас щось всередині P?

Нехай - клас задач рішення, що має обмежений двосторонній помилка, рандомізований алгоритм, що працює в часі . $\mathsf{BPTIME}(f(n))$ $O(f(n))$

Чи знаємо ми про будь-яку проблему така, що але ? Чи доведено його існування? $Q \in \mathsf{P}$ $Q \in \mathsf{BPTIME}(n^k)$ $Q \not \in \mathsf{DTIME}(n^k)$

Це питання було задано тут на cs.SE , але не отримало задовільної відповіді.

— aelguindy
джерело

(1) BPP (f (n)) зазвичай позначається як BPTIME (f (n)). (2) В обстановці складності обчислювань я вважаю, що це відкрито. (Відомо багато прикладів складності запиту та налаштувань складності зв’язку.) (3) Якби його відсутність вже було доведено, то ми б уже знали, що P = BPP.

— Цуйосі Іто

До речі, у запитанні на cs.stackexchange.com у вас є непорозуміння щодо зв’язку між BPTIME та ZPTIME, і це може бути частиною причини, по якій ви не отримали задовільної відповіді.

— Цуйосі Іто

@TsuyoshiIto Спасибо, я не згоден , що якщо ми доведемо небуття , ми знаємо , я обмежуючи установку проблем в . Можливо, , тоді як взагалі я щось пропускаю? Чи можете ви також зазначити моє непорозуміння щодо та , можливо, я справді пропустив задовільну відповідь ..

P = B P P

$P=BPP$

P

$P$

B P T I M E (n^{k}) \cap P = D T I M E (n^{k})

$BPTIME(n^k) \cap P = DTIME(n^k)$

B P T I M E (n^{k}) \neq D T I M E (n^{k})

$BPTIME(n^k) \neq DTIME(n^k)$

B P T I M E

$BPTIME$

Z P T I M E

$ZPTIME$

— aelguindy

У вашому запитанні не сказано, що ви обмежуєте проблему Q бути всередині P. Якщо це ваш намір, відредагуйте це питання.

— Цуйосі Іто

Для наближення 1-медіани кінцевого метричного простору з кількома запитами до функції відстані випадкова точка дає 2-наближення в очікуванні та (2 + eps) -приближення з хорошою ймовірністю. Але жоден детермінований алгоритм, який запитує функцію відстані разів, не може зробити кращим, ніж 4-наближення. [ Chang 2013 ]

o (n^{2})

$o(n^2)$

— Ніл Янг

Відповіді:

Іншим прикладом є оцінка об'єму багатогранника у великих розмірах. Існує безумовна нижня межа детермінованих стратегій для наближення обсягу навіть до експоненціального коефіцієнта, але існує проблема FPRAS.

Оновлення: відповідний документ є (посилання на PDF ):

І. Барані та З. Фуреді. Обчислити об'єм складно, Дискретна та обчислювальна геометрія 2 (1987), 319-326.

— Суреш Венкат
джерело

Чи можете ви надати посилання на безумовну нижню межу?

— Т ....

додана довідка.

— Суреш Венкат

Проблема : Масив складається з 1s та 0s. Знайдіть таке, що дорівнює 1. $A[1..2n]$ $n$ $n$ $i$ $A[i]$

Вам дозволено запитувати "Яке число присутнє в "? Кожен запит займає постійний час. $A[i]$

Рішення : Рандомізований алгоритм: Виберіть випадковий індекс і перевірте, чи дорівнює 1. Очікувана кількість запитів - 2, але будь-який детермінований алгоритм повинен робити не менше запитів. Тому рандомізована верхня межа суворо краща за детерміновану нижню межу в цій моделі. $i$ $A[i]$ $n$

Це приклад зі складності запиту, про яку Цуйосі згадував у коментарі.

— Ягадиш
джерело

Будь-який детермінований алгоритм повинен скласти принаймні

запитів у гіршому випадку .

n

$n$

— argentpepper

Що ви маєте на увазі під "на даний момент ми не знаємо жодного нетривіального нижнього граничного доказу для будь-якої проблеми в NP (не кажучи вже про P)"?

— Крістофер Арнсфельт Хансен

Можливо, я неохайно вжив слово «нетривіальний». Я мав на увазі «В даний час ми не можемо довести безумовну нижню межу

для

для SAT або будь-яку проблему в NP». Це правильно?

Ω (n^{k})

$\Omega(n^k)$

k > 0

$k>0$

— Джагадіш

Ну, може, не для «приємних» проблем, таких як SAT; але пам’ятайте, що у нас є такі нижчі межі для інших задач із теорем ієрархії часу. І питання не в "приємних" проблемах, а в класах складності.

— Крістофер Арнсфельт Хансен

Ага, правильно. Я припускав, що ОП цікавлять природні проблеми. Я відредагував свою відповідь.

— Джагадіш

Давши матрицю виплат для матриці з нульовою сумою з окупністю в [0,1], оцініть значення гри в рамках добавки . $n\times n$ $\epsilon$

Ця проблема має рандомізований алгоритм, який працює в часі , який (імовірно) жоден детермінований алгоритм не може відповідати [ GK95 ]. $O(n\log^2(n)/\epsilon^2)$

Дивіться також Ефективні та прості рандомізовані алгоритми, де детермінізм утруднений .

— Ніл Янг
джерело