Нижні межі для формул постійної глибини?

21

Ми дуже багато знаємо про обмеження контурів постійної глибини (розмір полінома). Оскільки формули постійної глибини (розмір полінома) є ще більш обмеженою моделлю обчислення, всі задачі, які, як відомо, не знаходяться в AC ⁰ , також не обчислюються формулою постійної глибини. Однак, оскільки це простіша модель, я здогадуюсь, що існує більше проблем, які, як відомо, у цій моделі не піддаються обчисленню. Це було вивчено? (Я здогадуюсь, що це було, але я, мабуть, не використовую правильних пошукових термінів.)

Зокрема, мене цікавить наступне питання: чи існує якась функція f, яку можна обчислити ланцюгом змінного струму ⁰ розміром S, але їй потрібна формула постійної глибини розміром принаймні квадратичної в S, або надполіномальної в S? Який найвідоміший результат такого роду?

Якщо не зрозуміло, що я маю на увазі під формулою постійної глибини, я маю на увазі формулу, яка, якщо ви пишете як дерево (внутрішні вузли бувають І / АБО / НЕ воротами, а листя є вхідними), то це дерево має постійну форму висота. Еквівалентно, формула постійної глибини - це ланцюг постійної глибини, в якому всі невхідні ворота мають вентилятор 1.

cc.complexity-theory circuit-complexity lower-bounds

— Робін Котарі
джерело

11

Легко перетворити контур постійної глибини у формулу постійної глибини однакової глибини зі збільшенням розмірів поліномів, роблячи копії воріт, що використовуються не один раз. Якщо глибина ланцюга а її розмір - , формула матиме глибину і розмір . Тому відповідь - ні. $d$ $O(p(n))$ $d$ $O((p(n))^d)$

— Каве
джерело

5

це дає більше, ніж квадратичне збільшення розмірів. (Хоча, не надполіномічне збільшення, звичайно.)

— Іддо Цамарет

2

Дякую за відповідь. Будь-яке уявлення про конкретну функцію f, яка має контур постійної глибини розміром S, але потребує формули розміром S ^ 2, або S ^ 10 тощо?

— Робін Котарі

3

Я думаю, що відношення між глибиною та розміром ланцюга все ще відкрито (Відомо, що "глибина" - це тета розміру формули). Дивіться глави 7 та 8 у книзі Вегенера "Складність булевих функцій" щодо деяких функцій із чіткими розмірами формул. Є одна з майже квадратичним збільшенням (

), нічого кращого не помітили.

n^{2} / l o g n

$n^2/log n$

— Kaveh

17

Це питання було повністю вирішено (аж до постійних факторів) останнім результатом Бенджаміна Россмана ( http://eccc.hpi-web.de/report/2013/169/ ).

Як Каве вказує вище, глибина , розмір , схема може бути перетворена на формулу глибини , розмір . $d$ $S$ $d$ $S^d$

Россман показує, що це по суті жорстко. Для будь-якої глибини він демонструє функцію, яку можна обчислити за допомогою контуру постійної глибини глибини і розміру , але будь-яку формулу постійної глибини (або навіть $d$ $d$ $S = O(n^3)$ -depth формула для його обчисленняпотрібен розмір . $\sqrt{\log n}$ $S^{\Omega(d)}$

(Забув сказати це раніше: Дякую Бенджаміну Россману за те, що він повідомив мені про цей результат.)

— Робін Котарі
джерело