Обчислювальна складність множення матриць

Я шукаю інформацію про обчислювальну складність матричного множення прямокутних матриць. У Вікіпедії зазначено, що складність множення на B ∈ R n × p є O ( m n p ) (множення шкільної книги).$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$$B \in \mathbb{R}^{n \times p}$$O(mnp)$

У мене є випадок, коли і n набагато менші за p , і я сподівався отримати складнішу складність, ніж лінійний у p , за рахунок створення залежності від m і $m$$n$$p$$p$$m$$n$ гіршою, ніж лінійна.

Будь-які ідеї?

Спасибі.

Примітка: причина, на яку я сподіваюся, що це стане можливою, - це добре відомий результат меншої кубічної залежності в якщо m = n = p (коли матриці - всі квадрати).$p$$m=n=p$

Класична робота Копперсміта показує, що при деяких можна помножити матрицю n × n α на матрицю n α × n в арифметичних операціях ˜ O ( n 2 ) . Це найважливіший компонент недавнього знаменитого результату Райана Вільямса.$\alpha > 0$$n \times n^\alpha$$n^\alpha \times n$$\tilde{O}(n^2)$

Франсуа ле Голл недавно удосконалив роботу Coppersmith, і його документ щойно був прийнятий до FOCS 2012. Для того, щоб зрозуміти цю роботу, вам знадобляться певні знання з алгебраїчної теорії складності. Документ Вірджинії Вільямс містить деякі відповідні покажчики. Зокрема, робота Копперсміта повністю описана в книзі « Теорія алгебраїчної складності» .

Інша частина роботи орієнтована приблизно на множення матриць . Ви можете перевірити цю роботу Маген і Зузіас. Це корисно для обробки дійсно великих матриць, скажімо, множення матриці та матриці N × n , де N ≫ n .$n \times N$$N \times n$$N \gg n$

Основний підхід полягає у вибірці матриць (це відповідає рандомізованому зменшенню розмірності) та множенню значно менших вибіркових матриць. Хитрість полягає в тому, щоб з’ясувати, коли і в якому сенсі це дає хороший наближення. На відміну від попередньої частини роботи, яка є абсолютно непрактичною, алгоритми вибірки практичні і навіть необхідні для обробки великої кількості даних.