Лінійно незалежні коефіцієнти Фур'є

Основна властивість векторних просторів полягає в тому, що векторний простір розмірності може характеризуватися лінійно незалежними лінійними обмеженнями - тобто існують лінійно незалежні вектори , ортогональних . n - d d d w 1 , … , w d ∈ F n 2$V \subseteq \mathbb{F}_2^n$$n-d$$d$$d$$w_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^n$$V$

З точки зору Фур'є, це рівнозначно тому, що функція індикатора з має лінійно незалежних ненульових коефіцієнтів Фур'є. Зауважимо, що має ненульових коефіцієнтів Фур'є, але лише з них лінійно незалежні. V $1_V$$V$$d$ 2 d$1_V$$2^d$$d$

Я шукаю приблизну версію цього властивості векторних просторів. Зокрема, я шукаю заяву такої форми:

Нехай має розмір . Тоді функція індикатора має щонайбільше лінійно незалежних коефіцієнтів Фур'є, абсолютне значення яких принаймні . 2 n - d 1 S d ⋅ log ( 1 / ε $S \subseteq \mathbb{F}_2^n$$2^{n-d}$$1_S$$d\cdot\log(1/\varepsilon)$ $\varepsilon$

Це питання можна розглядати з точки зору "Структура проти випадковості" - Інтуїтивно така заява говорить про те, що кожен великий набір може бути розкладений на суму векторного простору та невеликого упередженого набору. Добре відомо, що кожна функція може бути розкладена на "лінійну частину", яка має великий Фур'є коефіцієнти та "псевдовипадкова частина", яка має невеликі ухили. У моєму запитанні задається, чи має лінійна частина лише логарифмічне число лінійно незалежних коефіцієнтів Фур'є.p o l y ( 1 / ε $f:\mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2$$\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$

Чи не наступний зустрічний приклад?

Нехай - більшість , що є показником набору розміру , тому . Однак для , тому у вас є 1 / ϵ 2х 1 , ... , х 1 / ε 2 2 п / 2 г = 1 F ( { я } ) = Θ ( ε ) 1 ≤ я ≤ 1 / ε $f(x)$$x_1, \ldots, x_{1/\epsilon^2}$$2^n/2$$d = 1$$\hat{f}(\{i\}) = \Theta(\epsilon)$$1 \le i \le 1/\epsilon^2$$1/\epsilon^2$ лінійно незалежних великих коефіцієнтів Фур'є.

Можливо, ви хочете, що іноді називають "лемою Чанга" або "лемою Талагранда" ... тут називають "нерівністю рівня 1": http://analysisofbooleanfunctions.org/?p=885

З цього випливає, що якщо має середнє значення 2 - d, то число лінійно незалежних коефіцієнтів Фур'є, площа яких принаймні γ 2 - d, становить щонайменше O ( d / γ 2 ) . (Це тому, що лінійне перетворення F 2 на вході не змінює середнє значення, тому ви завжди можете переміщати лінійно незалежні символи Фур'є до ступеня-1.)$1_S$$2^{-d}$$\gamma 2^{-d}$$O(d/\gamma^2)$$F_2$