Відповідність між класами складності та логікою

Я взяв один раз клас з обчислюваності та логіки. Матеріал включав кореляцію між класами складності / обчислюваності (R, RE, co-RE, P, NP, журнальний простір, ...) та логікою (обчислення предикатів, логіка першого порядку, ...).

Кореляція включала кілька результатів в одному полі, які були отримані за допомогою методик з іншого поля. Можна припустити, що P! = NP може бути атаковано як проблема в логіці (проектуючи проблему з області класів складності на логіку).

Чи є хороший підсумок цих методик та результатів?

Можливо, ви запитуєте про результати в теорії кінцевих моделей (наприклад, характеристика P і NP з точки зору різних фрагментів логіки). Нещодавні спроби підтвердження P! = NP спочатку активно використовували такі поняття, і деякі хороші посилання (взяті з вікі ):

• Огляд Еріха Граделя на FMT та описову складність
• Стаття Рона Фагіна про описову складність

Ніл Іммерман створив прекрасну діаграму, яка забезпечує оглядові відповідність між класами складності та логікою, інтерпретованими кінцевими моделями. Це на обкладинці його книги, а також внизу його веб-сторінки тут: http://www.cs.umass.edu/~immerman/

Я знаю два способи асоціації логіки з класами складності. Перший - описова складність, яка є теоретичною моделлю, згаданою в інших відповідях. (Повертаючись до характеристики Рональда Фагіна$NP$.)

Другий підхід (який також трохи старший, повертаючись до творів таких людей, як Стів Кук та Сем Бус), є теоретичним доказом. Тут клас складності асоціюється з теоріями арифметики. Доведено загальні функції цих теорій - це саме функції класу складності. Наприклад, суттєво загальні функції теорії Сем Бусса$S^1_2$- це точно обчислювані функції багаточлени. Існують також зв’язки із системами пропозицій щодо підтвердження. Докладніше про цей підхід див. У книзі Яна Крайчека "Обмежена арифметика, теорія пропозицій та теорія складності", 1995 р., Або Стівен А. Кук та Пхуонг. Найновіша книга Нгуєна "ЛОГІЧНІ ФОНДИ ДОСЛІДНОЇ КОМПЛЕКСНОСТІ", 2010 р. (Проект можна знайти тут ).

Антоніна Колоколова працювала над відносинами між цими двома підходами.

Для тих, хто не знайомий з безліччю абревіатур, знайдених у великій діаграмі Імермена, є стаття у Вікіпедії про описову складність . Повинна бути діаграма зі посиланнями, щоб ви могли безпосередньо шукати визначення у зоопарку складності та інших джерелах. Я також хотів би краще побачити відносини до відповідних формальних мов / граматик і де ви можете знайти докази.

Це не відповідь, а коментар до відповіді Аарона, який я чомусь не можу коментувати.