Орієнтовний ступінь

EDIT (v2): в кінці додано розділ про те, що я знаю про проблему.

EDIT (v3): додана дискусія про пороговий ступінь наприкінці.

Питання

Це питання в основному є довідковим запитом. Я мало знаю про проблему. Я хочу знати, чи була раніше робота над цією проблемою, і якщо так, чи може хтось вказати мені на будь-які документи, які говорять про цю проблему? Я також хотів би дізнатися найкращі поточні межі щодо приблизного ступеня $\textrm{AC}^0$ . Будь-яка інша інформація також буде оцінена (наприклад, історична інформація, мотивація, відношення до інших проблем тощо).

Визначення

Нехай булева функція. Нехай p - многочлен над змінними x 1 до x n з реальними коефіцієнтами. Ступінь многочлена є максимальним ступенем над усіма одночленами. Ступінь одночлена - це сума експонентів різних x i, що з'являються в цьому мономе. Наприклад deg ( x 7 1 x 2 3 ) = 9 .$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$$p$$x_1$$x_n$$x_i$$\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9$

Поліном кажуть, що ϵ -приблизно f, якщо | f ( x ) - p ( x ) | < ϵ для всіх x . Ε -approximate ступінь булевої функції F , позначається як ~ град е ( е ) , мінімальна ступінь многочлена , що ε -approximates е . Для набору функцій F , ~ deg ϵ ( F $p$$\epsilon$$f$$|f(x)-p(x)|<\epsilon$$x$$\epsilon$$f$$\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)$$\epsilon$$f$$F$$\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)$- мінімальна ступінь така що кожна функція F може бути ϵ -приближена до многочлена градусного ступеня не більше d .$d$$F$$\epsilon$$d$

Зауважте, що кожна функція може бути представлена ​​без помилок поліномом градуса . Деяким функціям дійсно потрібен многочлен n ступеня, щоб наблизитись до будь-якої постійної помилки. Паритет є прикладом такої функції.$n$$n$

Постановка проблеми

Що таке ? (Константа 1/3 довільна.)$\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$

Примітки

Я зіткнувся з цією проблемою в роботі «Складність запиту квантових запитів AC0 » Пола Біма та Відада Махмучі. Вони кажуть

Крім того, наші результати не роблять нічого, щоб закрити проміжок у нижній межі на приблизному ступені функцій AC0.

Вони також згадують "проблему приблизного ступеня AC0" у своїх визнаннях.

Тож я припускаю, що раніше була якась робота над цією проблемою? Чи може хтось вказати мені на документ, який розповідає про проблему? А які найвідоміші верхня та нижня межі?

Що я знаю про проблему (Цей розділ додано у v2 запитання)

Найвідоміший верхньої межа , що є ноу тривіальним верхньою межею п . Кращий нижньою межею я знаю , що походить від Ааронсон і Ши нижню межу для задач зіткнення і елемент відмінним, який дає нижній межі ~ П ( п 2 / 3 ) . (Для сильно обмежених версій AC 0 , як формули з розміром формули o ( n 2 ) , або схеми глибини-2 з o ( n 2$\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$$n$$\tilde{\Omega}(n^{2/3})$$\textrm{AC}^0$$o(n^2)$$o(n^2)$ворота, ми можемо довести верхню межу, використовуючи квантову складність запиту.)$o(n)$

Пов'язане: пороговий ступінь (додано в v3)

Як зазначає Цуйосі в коментарях, ця проблема пов'язана з проблемою визначення порогового ступеня . Порогова ступінь функції f - мінімальна ступінь многочлена p така, що f ( x ) = $\textrm{AC}^0$$f$$p$ і f ( x ) = $f(x)=1 \implies p(x)>0$ .$f(x)=0 \implies p(x)<0$

Нижню межу порогового ступеня тепер Шерстов покращив. Він виставляє сімейство формул зчитування з постійною глибиною на n змінних, порогова ступінь яких наближається до Ω ( $\mathrm{AC}^0$$n$мірі того, як глибина переходить до нескінченності, яка майже є тісною, оскільки формули, що читаються один раз, мають пороговий (і навіть приблизний) ступіньO($\Omega(\sqrt{n})$. Дивітьсяhttp://eccc.hpi-web.de/report/2014/009/. (Січень, 2014 р.)$O(\sqrt{n})$

Документ Марка Буна та Джастіна Талера був опублікований на ECCC зовсім недавно (середина березня 2017 року), який точно відповідає на це запитання: "Майже оптимальна нижня межа на приблизному ступені AC0"

$\delta > 0$$f$$\mathrm{AC}^0$$\widetilde{\mathrm{deg}}_{1/3}(f) = \Omega(n^{1-\delta})$$O(n)$

$f$$d$$F$$O(n \cdot \mathrm{polylog}(n))$$D = Ω(n^{1/3} · d^{2/3} )$$d = n^{1−Ω(1)}$$D$поліноміально більший ніж . Крім того, якщо F обчислюється з допомогою полиномиального розміру булевої схеми постійної глибини, то і Р .$d$$f$$F$

Це найновіше оновлення в нижній частині цієї проблеми, і це досить вагомий крок вперед. Розділи «Вступ та застосування» статті також є хорошими джерелами посилань на попередні роботи та пов'язані з цим проблеми.

Відмова: Я ще ретельно не читав папір.