Наскільки ефективні SAT-вирішувачі на основі DPLL на задоволених екземплярах PHP?

Ми знаємо, що SAT-вирішувачі на базі DPLL не відповідають правильно на незадовільні екземпляри (принцип дірки голубів), наприклад на "існує ін'єктивне відображення від до ": $\mathrm{PHP}$ $n+1$ $n$

П Н П_{н}^{н + 1} : = (\underset{i \in [н + 1]}{⋀} \underset{j \in [н]}{⋁} p_{i, j}) \land (\underset{i \neq i^{'} \in [н + 1]}{⋀} \underset{j \in [н]}{⋀} (\neg p_{i, j} \lor \neg p_{i^{'}, j}))

$\mathrm{PHP^{n+1}_{n}} := \left(\bigwedge_{i\in[n+1]} \ \bigvee_{j\in[n]} \ p_{i,j}\right) \wedge \left(\bigwedge_{i\neq i'\in[n+1]} \ \bigwedge_{j\in[n]} \ (\lnot p_{i,j} \vee \lnot p_{i',j})\right)$

Я шукаю результати щодо того, як вони працюють на задоволених екземплярах $\mathrm{PHP}$ , наприклад, "є ін'єктивне відображення від $n$ до $n$ ".

Чи швидко вони знаходять задоволення від виконання таких завдань?

cc.complexity-theory lo.logic proof-complexity

— Каве
джерело

Під "не відповісти правильно" ви маєте на увазі "не вистачає ресурсів на досить великих значеннях n"?

— Vijay D

@Kaveh Чи дозволяєте ви повторення пропозицій та / або повторення змінних у тому самому пункті? Спасибі

— Tayfun Pay

@VijayD, я маю на увазі, що алгоритм не повертає правильної відповіді в поліноміальний час протягом досить великого

n

$n$ . Я сподіваюся, що можна довести, що алгоритм, заснований на DPLL, працював би в поліноміальний час для цієї родини.

— Каве

@Geekster, я не впевнений, що ти маєш на увазі. У мене є певна сім'я формул. Ви запитуєте, чи є повторення у цій формулі?

— Каве

У задоволених випадках , SAT-рішення, засновані на DPLL, забезпечуватимуть виконання лінійного часу. $PHP$

Щоб зрозуміти, чому, поспостерігайте, як кодування CNF незадовільного екземпляра з отворами і голубів синтаксично ідентично екземпляру Graph Coloring, де вхідний графік являє собою кліку вершин. $PHP$ $n$ $n + 1$ $k = n$ $n + 1$

Аналогічно, кодування CNF задовольняючого екземпляра з отворами і голубами синтаксично ідентично екземпляру Graph Coloring, де вхідний графік є кліком з вершин. $PHP$ $n$ $n$ $k = n$ $n$

Тепер забарвлення кліки з вершин з кольорів є простим: скануйте вершини та призначте кожному з них один із решти кольорів (вже призначені кольори автоматично виключаються за кліком графіка, використовуючи одиничне поширення) . Який би з решти кольорів ви не вибрали, це буде добре і приведе вас до задоволення. $n$ $n$

З точки зору вирішення DPLL: кожен раз, коли він намагатиметься відгадати булеве значення змінної , таке значення буде правильним (яким би воно не було), оскільки, безумовно, буде задовольняючим завданням, у якому змінна має відгадане значення . Поширення одиниці виконає решту роботи, провівши розв’язувача по задовольняючому шляху (іншими словами: заважаючи вгадувати неправильні значення). $v_i$ $v_i$

Потім пошук проходить одну змінну за іншою лінійно, кожен раз роблячи правильну здогадку.

— Джорджіо Камерані
джерело

Дякую, це я очікував. До речі, ви знаєте посилання, в якому йдеться про це (тобто "Алгоритм DPLL вирішує задоволені екземпляри PHP / GC за лінійним часом")?

— Каве

Будь ласка. Я не знаю жодної посилання, яка заявляє про це, я щойно це отримав сам через кілька необґрунтованих міркувань. Офіційно довести це не повинно, покладаючись на те, що кожен вирішувач SAT використовує певну евристичну форму як для вибору наступної змінної, так і для здогадки про її булеве значення. Справді, слід зазначити, що існує принаймні один нерозумний евристик, який заважає нам досягти рішення за лінійний час (такий необґрунтований евристик був би встановити помилкову кожну змінну, поки це можливо). Хоча при розумній евристиці забезпечується лінійний час.

— Джорджіо Камерані

Я згоден. Я сподіваюся, що хтось, можливо, десь це заявив, щоб я міг цитувати, коли мені потрібно. Я хотів би почекати ще кілька днів, і якщо ніхто не дасть посилання, я прийму цю відповідь. Знову дякую. :)

— Kaveh

Моє задоволення ;-) Привіт!

— Джорджіо Камерані