FO-рівномірний AC0 з деяким присудком

Моє запитання щодо теорії кінцевих моделей / описової складності, так $FO(R)$ означатиме "перший порядок над кінцевими двійковими словами, використовуючи предикати Rs та одинарний предикат P true на позиції 1 у слові".

Я хотів би знати, чи існують якісь характеристики $FO(<,R)$ з R будь-який присудок на $\mathbb N^r$для деяких г? Наприклад на$FO(<,+)$, або $FO(<,P_2)$ де $P_2$ це множина потужності 2. Тим більше, мені здається, вона повинна дорівнювати $AC^0$ з певною умовою рівномірності, але я не можу знайти жодного результату, який би стверджував це.

Ось, що я вже знаю, на деяку цінність $R$.

Добре відомо, що $FO(<,bit)$, логіка першого порядку для слів з порядком і бітним присудком дорівнює $AC^0$-$FO(<,bit)$рівномірний. Це означає, що вони обидва визнають однакові мови. Див., Наприклад, "Описова складність" Іммермана, стор. 82. (Це також дорівнює багатьом іншим характеристикам, таким як$AC^0$- рівномірний і постійний час паралельний апарат з випадковим доступом, але це не те, що я шукаю тут.

Якщо ми можемо використовувати довільний числовий предикат у логіці першого порядку, то маємо $AC^0$ (неоднакова), якщо $C$ - це клас функції, що містить обчислювану функцію часового часу $FO(<,C)$ дорівнює $AC^0-C$-уніформа (про ці два результати див. Баррінгтон, " Розширення ідеї Мак-Нафтона ", 1993).

Нарешті $FO(<)$ - клас мови, що не містить зірок (мова, яку можна визначити регулярним виразом, не використовуючи зірки Клінова), але це не дає інформації щодо складності ланцюга.

Я не зовсім впевнений, що ви шукаєте, але вам може бути цікаво наступне:

1. Думка про те, що обмеження числових предикатів у формулі FO відповідає умовам рівномірності, чітко досліджується, наприклад, у статті "FO (<) - однаковість" Беле і Ланге.
2. Опитування "Арифметичні, логіки першого порядку та кількісні показники підрахунку" Швейкарда дає огляд відомих результатів щодо виражальної сили різних арифметичних предикатів