Ємність унікально вирішуваної головоломки (USP)

У своїй доповідній роботі Групово -теоретичні алгоритми множення матриць Кон, Клейнберг, Сегеді та Уманс вводять концепцію унікально розв'язуваної головоломки (визначеної нижче) та ємності USP. Вони стверджують, що Копперсміт і Виноград, у власній новаторській множинній матриці множення за допомогою арифметичних прогресій , "неявно" доводять, що ємність USP становить 3/2 . Цю заяву ще раз підтверджують у кількох інших місцях (у тому числі тут, на cstheory), але ніде пояснення знайти не можна. Нижче моє власне розуміння того, що доводить Коперсміт та Виноград, і чому цього недостатньо. $3/2^{2/3}$

Чи правда, що ємність USP дорівнює 3/2 ? Якщо так, чи існує посилання на доказ? $3/2^{2/3}$

Унікально вирішувані пазли

Унікально вирішувана головоломка (USP) довжиною і шириною складається з підмножини розміром , яку ми також вважаємо трьома колекціями "штук" місця, де вектори дорівнюють , місця, де вони , і місця, де їх ), що відповідають наступній властивості. Припустимо, ми розставимо всі штрихи в рядках. Тоді повинен бути унікальний спосіб розмістити інші шматки, по одному в кожному рядку, щоб вони «підходили». $n$ $k$ $\{1,2,3\}^k$ $n$ $n$ $1$ $2$ $3$ $1$ $n$

Нехай - максимальна довжина USP ширини . Ємність USP , є У USP кожен фрагмент повинен бути унікальним - це означає, що жоден два рядки не містять символу в абсолютно однакових місцях. Це показує (після короткого аргументу), що і так . $N(k)$ $k$

κ = sup_{k} N (k)^{1 / k} .

$\kappa = \sup_k N(k)^{1/k}.$

c \in {1, 2, 3}

$c \in \{1,2,3\}$

N (k) \leq \sum_{a + b + c = k} min {(\binom{k}{a}), (\binom{k}{b}), (\binom{k}{c})} \leq (\binom{k + 2}{2}) (\binom{k}{k / 3}),

$N(k) \leq \sum_{a+b+c=k} \min \left\{ \binom{k}{a}, \binom{k}{b}, \binom{k}{c} \right\} \leq \binom{k+2}{2} \binom{k}{k/3},$

κ \leq 3 / 2^{2 / 3}

$\kappa \leq 3/2^{2/3}$

Приклад (USP довжини і ширини ): Неприклад довжини і ширини , де - і -розташовувати можна двома різними способами: $4$ $4$

\begin{aligned} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{aligned}

$\begin{align*} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{align*}$

3

$3$

3

$3$

2

$2$

3

$3$

\begin{aligned} 123 & 132 \\ 231 & 321 \\ 312 & 213 \end{aligned}

$\begin{align*} 123 && 132 \\ 231 && 321 \\ 312 && 213 \end{align*}$

Загадки Копперсміт-Виноград

Медник-Виноград головоломка (НВП) довжинами і шириною складається з підмножини з розміру , в яких «частина» є унікальною - для будь-яких два і , (Вони подають це дещо інакше.) $n$ $k$ $S$ $\{1,2,3\}^k$ $n$ $a \neq b \in S$ $c \in \{1,2,3\}$

{i \in [k] : a_{i} = c} \neq {i \in [k] : b_{i} = c} .

$\{ i \in [k] : a_i = c \} \neq \{ i \in [k] : b_i = c \}.$

Кожен USP є CWP (як ми вже коментували вище), отже, ємність CWP задовольняє . Вище ми прокоментували, що . Копперсміт і Віноград показали, використовуючи складний аргумент, що . Їх аргументацію спростив Страссен (див. Теорію алгебраїчної складності ). Нижче наводимо простий доказ. $\lambda$ $\lambda \geq \kappa$ $\lambda \leq 3/2^{2/3}$ $\lambda = 3/2^{2/3}$

Дано , нехай складається з усіх векторів, що містять кожен з s, s, s. Для нехай складається з усіх пар таких, що , і . Кожен незалежний набір у графі є CWP. Загальновідомо, що кожен графік має незалежний набір розмірів(доказ: виберіть кожну вершину з вірогідністю і видаліть одну вершину з кожного краю, що залишився в живих). У нашому випадку $k$ $V$ $k/3$ $1$ $2$ $3$ $c \in \{1,2,3\}$ $E_c$ $a,b \in V$ $\{ i \in [k] : a_i = c \} = \{ i \in [k] : b_i = c \}$ $E = E_1 \cup E_2 \cup E_3$ $G = (V,E)$ $|V|^2/4|E|$ $|V|/2|E|$

| V | = (\binom{k}{k / 3}) (\binom{2 k / 3}{k / 3}), | E | \leq 3 | E_{1} | = \frac{3}{2} (\binom{k}{k / 3}) {(\binom{2 k / 3}{k / 3})}^{2} .

$|V| = \binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}, \quad |E| \leq 3|E_1| = \frac{3}{2}\binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}^2.$ Звідси

\frac{| V |^{2}}{4 | E |} = \frac{1}{6} (\binom{k}{k / 3}) ⟹ λ \geq \frac{3}{2^{2 / 3}} .

$\frac{|V|^2}{4|E|} = \frac{1}{6} \binom{k}{k/3} \Longrightarrow \lambda \geq \frac{3}{2^{2/3}}.$

— Юваль Фільм
джерело

Цікаво, але чи є тут питання, чи це лише твердження про недолік у літературі?

— Девід Еппштейн

Питання в тому, чи правда, що ємність USP дорівнює 3/2 , і якщо так, то де можна знайти доказ.

3 / 2^{2 / 3}

$3/2^{2/3}$

— Yuval Filmus

Як і на багато інших запитань, відповідь на це можна знайти у тезі Стотерса. Місцевий USP є НВП , в якому єдиний спосіб , в якому 1-частина, 2 х частин і 3 х частин може поміститися разом , якщо їх об'єднання в . Очевидно, що локальний USP - це USP, і побудова [CKSU] показує, що потенціал USP досягається місцевими USP (ми це будемо демонструвати конструктивно). $S$

Копперсміт і Виноград будують майже 2-му розрядний незалежний розподіл на з такими двома властивостями: (1) , (2) Для будь-яких таких, що 1- частинка , 2-х частинка і 3-х частинка разом утворюють вектор : якщо , то . $S$ $2^V$ $\Pr[x \in S] = (|V|/2|E|)^{1-\epsilon}$ $x,y,z \in V$ $x$ $y$ $z$ $w \in V$ $x,y,z \in S$ $w \in S$

Вибираємо випадкове підмножину з відповідно до розподілу, і для кожного ребра видаляємо обидві вершини . Очікувана кількість вершин, що залишилися, приблизно . Отриманий набір є локальним USP: якщо є в яких 1- частинка , 2-х частинка і 3-х частинка вміщують шматок , то , і тому все видаляються з . $S$ $V$ $(x,y) \in E$ $x,y$ $(|V|^2/2|E|)^{1-\epsilon}$ $T$ $x,y,z \in T$ $x$ $y$ $z$ $w$ $x,y,z,w \in S$ $x,y,z$ $S$

— Юваль Фільм
джерело