Чи може додавання здійснюватися на глибині менше 5?


21

Використовуючи алгоритм перегляду вперед, ми можемо обчислити складання за допомогою глибини розміру 5 (або 4?) . Чи можна зменшити глибину? Чи можемо ми обчислити додавання двох двійкових чисел, використовуючи сімейство ланцюгів поліноміальних розмірів з глибиною меншою, ніж одержувана алгоритмом перегляду вперед?AC0

Чи є суперполіномові нижні межі для розмірів обчислень сімейства ланцюгів де дорівнює 2 або 3?ACd0d

Під глибиною я маю на увазі глибину чергування.


Чи можете ви сказати нам своє ім’я? Хто ти? За останній місяць або близько того люди роблять нове ім'я користувача тут, задаючи питання, а потім видаляють це ім’я користувача!
Tayfun Pay

14
@Geekster, зазвичай люди не зобов’язані створювати обліковий запис або використовувати свої справжні імена (однак, рекомендується це робити з різних причин). Якщо у вас є загальне занепокоєння з приводу чогось, будь ласка, використовуйте Теоретичні інформатики Meta для його підняття.
Каве

4
Це може бути вимушеним, перевіривши, що жодна схема глибини 4 АС 0 може обчислити (m+1) -бітову суму двох m бітових входів для деякого фіксованого m ; є лише кінцево-багато булевих функцій вхідних бітів, які можуть з'являтися на кожній глибині.
mjqxxxx

5
@mjqxxxx: Як ви можете застосувати обмеження розміру полінома на ланцюгах AC0 при грубому змушенні для фіксованого m? @ OP: Чи найкраща поточна глибина ланцюга 4 або глибина 5?
Робін Котарі

14
@mjqxxxx: Кожна булева функція обчислюється за допомогою схем глибини . Тепер припустимо, що ви знайдете для вашого фіксованого схему розміру . Як ви судите, чи є ланцюги розміру для кожного , де , чи є лише схеми розміром , де ? Просто немає способу вивести асимптотичну інформацію з кінцевого прикладу. m s c n n c = s / m 2 ϵ n ϵ = ( log s ) / m2mscnnc=s/m2ϵnϵ=(logs)/m
Еміль Йерабек підтримує Моніку

Відповіді:


13

Відповідно до теореми 3.1 в Олексіс Масьєль і Денис Терієн Порогові схеми малої більшості-глибини дійсно існує схема глибини 3 для обчислення додавання двох чисел.

Точна межа де - проблеми, які мають глибину 2 ланцюгів з обома воротами вгорі та схеми є ланцюгами глибини один (детальне пояснення позначень див. у статті). Δ 2 = Σ 2Π 2 A C 0, N C 0 1 N C 0Δ2NC10Δ2=Σ2Π2AC0,NC10NC0

Основні доказові ідеї:

  • По-перше, виражіть ланцюг Carry-lookahead якNC0Δ2NC0
  • Далі, властивості закриття щоб записати це якΔ2Δ2NC0
  • Нарешті, скористайтеся фактом (також доведеним у статті), щоNC0Δ1NC10

9

Схеми на глибині 2 вимагають експоненціального розміру для обчислення складання, оскільки ланцюг глибини 2 повинен бути або DNF, або CNF, і це легко перевірити, чи є в експоненціальному відношенні багато хвилин і максперм.

Попередження : частина нижче баггі . Дивіться коментарі під відповіддю.

Шлях я вважати це додавання може бути зроблено в глибині 3. припустити , і б я являюсь I - й біт двох чисел, де 0 є індексом LSB і п про MSB. aibii0n

Давайте обчислимо й біт суми, s i стандартним способом з нетерпінням погляд уперед:isi

si=aibici

де XOR, а c i - обчислена як:ci

ci=jj<i(gjpj)

і означає, що j- е місце розташування "сформувало" перенесення:gjj

gj=(ajbj)

а означає, що перенесення поширюється від j до i :pjji

pj=kj<k<i(ajbj)

Підраховуючи глибину, - глибина 2, а c i - глибина 3. Хоча здавалося б, що s i є глибиною 4 або 5, вона дійсно також є лише глибиною 3, оскільки це обмежене фан-обчислення глибини 3 схем, так що один може відсунути два верхніх рівня вниз, використовуючи формули де-Моргана, одночасно роздуваючи розмір ланцюга на поліноміальну кількість.pjcisi


4
Я не дуже бачу, як обмежене обчислення фаніну з ланцюгів глибини 3 автоматично є глибиною 3. Якщо, скажімо, ви пишете як ( c i¬ ( a ib i ) ) ( ¬ c i( a ib i ) ) , ви можете зробити перший від'єднати ланцюг глибиною 3 з вгорі, а другий відключити ланцюг глибини 3 за допомогою si(ci¬(aibi))(¬ci(aibi))зверху. Я не бачу, як відсунути верхню диз'юнкцію вниз без збільшення глибини на одиницю, щоб врахувати невідповідність між сполучними типами в двох частинах. Це можна усунути, зазначивши, що також можна обчислити по-іншому за допомогою схеми на глибині 3 ...ci
Еміль Йеребек підтримує Моніку

1
... з вгорі. З іншого боку, усі схеми 3 на глибину обмежили нижній вентилятор, тому я б назвав їх глибиною 2 1/2.
Еміль Йерабек підтримує Моніку

1
Це очевидно. Те , що я хочу підкреслити, що , як написано, ви НЕ повинні тут ЗОШ двох глибини ланцюгів з і на вершині. У вас АБО дві схеми d глибини d , в одному з яких І на вершині, а в другому - АБО на вершині. Я сумніваюся, такі схеми взагалі можна перетворити на глибину d . Подумайте про поліноміальні вентилятори AND та OR, як кількісні показники. Ви можете виразити ( x 1x 2Q x d ϕ ( x 1 , , x d ) ) ( xddd як формула пренексу зблоками d кількісних показників, аледля вираженняпотрібніблоки d + 1 ...(x1x2Qxdϕ(x1,,xd))(x1x2Qxdψ(x1,,xd))dd+1
Еміль Йерабек підтримує Моніку

1
... формула . (x1x2Qxdϕ(x1,,xd))(x1x2Q¯xdϕ(x1,,xd))
Еміль Йерабек підтримує Моніку

5
Для явного контрприкладу до загального принципу, нехай - це сімейство функцій, що можна обчислити за ланцюгами A C 0 d з АБО вгорі, що вимагає надполіномальної глибини d з ланцюгами AND у верхній частині (наприклад, функції Шипсера). Тоді x 0f n не мають ланцюгів A C 0 d . Припустимо для суперечності, що C n ( x 0 , , x n )fn(x1,,xn)ACd0dx0fnACd0Cn(x0,,xn)є такі схеми, і що має АБО вгорі (інший випадок симетричний). При установці х 0 = 1 , отримаємо C 0 D схеми для ¬ е н с або на вершині, отже З 0 д схем для е н з і на вершині, протиріччя. Cnx0=1ACd0¬fnACd0fn
Еміль Йерабек підтримує Моніку
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.