Чи може додавання здійснюватися на глибині менше 5?

Використовуючи алгоритм перегляду вперед, ми можемо обчислити складання за допомогою глибини розміру 5 (або 4?) . Чи можна зменшити глибину? Чи можемо ми обчислити додавання двох двійкових чисел, використовуючи сімейство ланцюгів поліноміальних розмірів з глибиною меншою, ніж одержувана алгоритмом перегляду вперед? $AC^0$

Чи є суперполіномові нижні межі для розмірів обчислень сімейства ланцюгів де дорівнює 2 або 3? $AC^0_d$ $d$

Під глибиною я маю на увазі глибину чергування.

— Анонімний
джерело

Чи можете ви сказати нам своє ім’я? Хто ти? За останній місяць або близько того люди роблять нове ім'я користувача тут, задаючи питання, а потім видаляють це ім’я користувача!

— Tayfun Pay

@Geekster, зазвичай люди не зобов’язані створювати обліковий запис або використовувати свої справжні імена (однак, рекомендується це робити з різних причин). Якщо у вас є загальне занепокоєння з приводу чогось, будь ласка, використовуйте Теоретичні інформатики Meta для його підняття.

— Каве

Це може бути вимушеним, перевіривши, що жодна схема глибини

4

$4$ АС

^{0}

$^{0}$ може обчислити

(m + 1)

$(m+1)$ -бітову суму двох

m

$m$ бітових входів для деякого фіксованого

m

$m$ ; є лише кінцево-багато булевих функцій вхідних бітів, які можуть з'являтися на кожній глибині.

— mjqxxxx

@mjqxxxx: Як ви можете застосувати обмеження розміру полінома на ланцюгах AC0 при грубому змушенні для фіксованого m? @ OP: Чи найкраща поточна глибина ланцюга 4 або глибина 5?

— Робін Котарі

@mjqxxxx: Кожна булева функція обчислюється за допомогою схем глибини . Тепер припустимо, що ви знайдете для вашого фіксованого схему розміру . Як ви судите, чи є ланцюги розміру для кожного , де , чи є лише схеми розміром , де ? Просто немає способу вивести асимптотичну інформацію з кінцевого прикладу.

2

$2$

m

$m$

s

$s$

c n

$cn$

n

$n$

c = s / m

$c=s/m$

2^{ϵ n}

$2^{\epsilon n}$

ϵ = (\log s) / m

$\epsilon=(\log s)/m$

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

Відповіді:

Відповідно до теореми 3.1 в Олексіс Масьєль і Денис Терієн Порогові схеми малої більшості-глибини дійсно існує схема глибини 3 для обчислення додавання двох чисел.

Точна межа де - проблеми, які мають глибину 2 ланцюгів з обома воротами вгорі та схеми є ланцюгами глибини один (детальне пояснення позначень див. у статті). $\Delta_2 \cdot \mathsf{NC}^0_1$ $\Delta_2 = \Sigma_2 \cap \Pi_2$ $\mathsf{AC}^0$ $\vee,\wedge$ $\mathsf{NC}^0_1$ $\mathsf{NC}^0$

Основні доказові ідеї:

По-перше, виражіть ланцюг Carry-lookahead як $\mathsf{NC}^0\cdot\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
Далі, властивості закриття щоб записати це як $\Delta_2$ $\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
Нарешті, скористайтеся фактом (також доведеним у статті), що $\mathsf{NC}^0 \subset \Delta_1\cdot\mathsf{NC}^0_1$

— SamiD
джерело

Схеми на глибині 2 вимагають експоненціального розміру для обчислення складання, оскільки ланцюг глибини 2 повинен бути або DNF, або CNF, і це легко перевірити, чи є в експоненціальному відношенні багато хвилин і максперм.

Попередження : частина нижче баггі . Дивіться коментарі під відповіддю.

Шлях я вважати це додавання може бути зроблено в глибині 3. припустити , і являюсь - й біт двох чисел, де є індексом LSB і про MSB. $a_i$ $b_i$ $i$ $0$ $n$

Давайте обчислимо й біт суми, стандартним способом з нетерпінням погляд уперед: $i$ $s_i$

s_{i} = a_{i} \oplus b_{i} \oplus c_{i}

$s_i = a_i \oplus b_i \oplus c_i$

де XOR, а - обчислена як: $\oplus$ $c_i$

c_{i} = \underset{j ∣ j < i}{⋁} (g_{j} \land p_{j})

$c_i = \bigvee_{j\mid j < i} (g_j \wedge p_j)$

і означає, що е місце розташування "сформувало" перенесення: $g_j$ $j$

g_{j} = (a_{j} \land b_{j})

$g_j = (a_j \wedge b_j)$

а означає, що перенесення поширюється від до : $p_j$ $j$ $i$

p_{j} = \underset{k ∣ j < k < i}{⋀} (a_{j} \lor b_{j})

$p_j = \bigwedge_{k\mid j < k < i} (a_j \vee b_j)$

Підраховуючи глибину, - глибина 2, а - глибина 3. Хоча здавалося б, що є глибиною 4 або 5, вона дійсно також є лише глибиною 3, оскільки це обмежене фан-обчислення глибини 3 схем, так що один може відсунути два верхніх рівня вниз, використовуючи формули де-Моргана, одночасно роздуваючи розмір ланцюга на поліноміальну кількість. $p_j$ $c_i$ $s_i$

— Нім
джерело

Я не дуже бачу, як обмежене обчислення фаніну з ланцюгів глибини 3 автоматично є глибиною 3. Якщо, скажімо, ви пишете

як

, ви можете зробити перший

ланцюг глибиною 3 з

вгорі, а другий

ланцюг глибини 3 за допомогою

s_{i}

$s_i$

(c_{i} \land \neg (a_{i} \oplus b_{i})) \lor (\neg c_{i} \land (a_{i} \oplus b_{i}))

$(c_i\land\neg(a_i\oplus b_i))\lor(\neg c_i\land(a_i\oplus b_i))$

⋁

$\bigvee$

⋀

$\bigwedge$ зверху. Я не бачу, як відсунути верхню диз'юнкцію вниз без збільшення глибини на одиницю, щоб врахувати невідповідність між сполучними типами в двох частинах. Це можна усунути, зазначивши, що

також можна обчислити по-іншому за допомогою схеми на глибині 3 ...

c_{i}

$c_i$

— Еміль Йеребек підтримує Моніку

... з

вгорі. З іншого боку, усі схеми 3 на глибину обмежили нижній вентилятор, тому я б назвав їх глибиною 2 1/2.

⋀

$\bigwedge$

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

Це очевидно. Те , що я хочу підкреслити, що , як написано, ви НЕ повинні тут ЗОШ двох глибини

ланцюгів з і на вершині. У вас АБО дві схеми

глибини

, в одному з яких І на вершині, а в другому - АБО на вершині. Я сумніваюся, такі схеми взагалі можна перетворити на глибину

. Подумайте про поліноміальні вентилятори AND та OR, як кількісні показники. Ви можете виразити

d

$d$

d

$d$

d

$d$

як формула пренексу зблоками

кількісних показників, аледля вираженняпотрібніблоки

...

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ψ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\psi(x_1,\dots,x_d))$

d

$d$

d + 1

$d+1$

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

... формула

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\exists x_{1} \forall x_{2} \dots \bar{Q} x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\exists x_1\forall x_2\dots \overline Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))$

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

Для явного контрприкладу до загального принципу, нехай

- це сімейство функцій, що можна обчислити за ланцюгами

з АБО вгорі, що вимагає надполіномальної глибини

ланцюгами AND у верхній частині (наприклад, функції Шипсера). Тоді

не мають ланцюгів

. Припустимо для суперечності, що

f_{n} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f_n(x_1,\dots,x_n)$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

d

$d$

x_{0} \oplus f_{n}

$x_0\oplus f_n$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

C_{n} (x_{0}, \dots, x_{n})

$C_n(x_0,\dots,x_n)$ є такі схеми, і що

має АБО вгорі (інший випадок симетричний). При установці

, отримаємо

схеми для

с або на вершині, отже

схем для

з і на вершині, протиріччя.

C_{n}

$C_n$

x_{0} = 1

$x_0=1$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

\neg f_{n}

$\neg f_n$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

f_{n}

$f_n$

— Еміль Йерабек підтримує Моніку