Ландшафт інтерактивних систем доказування

Перше моє запитання - чи відома інтерактивна характеристика системи доказів для всіх класичних класів складності. Я б назвав P, NP, PSPACE, EXP, NEXP, EXPSPACE, рекурсивні та рекурсивно перелічені функції класичні (серед інших). Зокрема, чи відома інтерактивна характеристика системи доказування рекурсивних та рекурсивно перелічуваних функцій?

Я знаю лише, що IP = PSPACE і що MIP = NEXPTIME. Під «знаю» означає, що я розумію визначення об'єктів по обидва боки рівності і, можливо, розумію рівність.

Моє друге питання - чи є графічний підсумок різних типів інтерактивних систем доказування та класи складності, які вони характеризують.

Зокрема, я хотів би посилатися на рисунок, подібний до характеристик складності опису картини Імермена .

cc.complexity-theory big-picture interactive-proofs

— Vijay D
джерело

Що ви вже знаєте?

— Цуйосі Іто

В інтерактивній системі підтвердження є більше ніж 1 змінний параметр: яка потужність перевіряючого, яка сила доказчика, який вид (і кількість) зв'язку вони дозволені, чи мають попередньо спільну випадковість, чи перевіряє доведеться прочитати все повідомлення від довірителя чи він має випадковий доступ до повідомлення тощо.

— Робін Котарі

Трохи поміркувавши, я не думаю, що можу відповісти на ваше запитання адекватно, тому що інтерактивна система доказування є широкою темою теорії складності обчислювальної техніки. Ви можете перевірити Розділ 9 Обчислювальна складність: Концептуальна перспектива Голдріха або Глави 8 та 11 « Комп’ютерна складність: сучасний підхід Арори та Барака».

— Цуйосі Іто

@VijayD: Так, це частина проблеми. У описових характеристиках складності є одна змінна (логіка), тому, коли ви переходите вище від FO до SO, ви переходите від AC0 до PH і т. Д. В інтерактивних системах перевірки існує стільки змінних, що не зрозуміло, що добре пейзаж можна намалювати.

— Робін Котарі

Я не впевнений, що це питання досить чітко визначено. Є тривіальна відповідь: кожен клас можна «охарактеризувати» як «інтерактивний доказ», коли доказчик в основному не робить багато, а перевіряючий досить потужний. Цікавим щодо результатів IP = PSPACE та MIP = NEXP (і PCP [O (\ log n), O (1)] = NP) "є те, що верифікатор на диво слабкий.

— Сашо Ніколов

Відповіді:

У відомому опитуванні Кондона можна знайти безліч характеристик (особливо на верифікаторах, обмежених простором): Складність інтерактивних систем доказування, обмежених простором .

Ось перелік деяких з них:

, де 2pfa (верифікатор) - двосторонній імовірнісний кінцевий автомат. $\mathsf{RE} = \mathsf{weak\mbox{-}IP(2pfa)}$
, де pfa (верифікатор) - це односторонній імовірнісний кінцевий автомат, що взаємодіє з двома доказчиками. $\mathsf{R} = \mathsf{2IP(pfa)}$
$\mathsf{NEXP} = \mathsf{2IP(pfa,poly\mbox{-}time)}$
$\mathsf{PSPACE} = \mathsf{IP(log\mbox{-}space,poly\mbox{-}time)}$
$\mathsf{NP} = \mathsf{oneway\mbox{-}IP(log\mbox{-}space,poly\mbox{-}time)} = \mathsf{oneway\mbox{-}IP(log\mbox{-}space,log\mbox{-}random\mbox{-}bits)}$
$\mathsf{P} = \mathsf{AM(log\mbox{-}space)}$ $\mathsf{EXP} = \mathsf{AM(poly\mbox{-}space)}$

Деякі останні (переважно квантові) результати:

$\mathsf{RE} = \mathsf{weak\mbox{-}AM(2qcfa)}$
$\mathsf{R} = \mathsf{IP(2pca)} = \mathsf{AM(2qca)}$
$\mathsf{EXP}$
$\mathsf{PSPACE} = \mathsf{QIP(poly\mbox{-}time)}$
$\mathsf{NP}$
$\mathsf{NL} = \mathsf{weak\mbox{-}oneway\mbox{-}IP(2pfa,constant\mbox{-}random\mbox{-}bits)}$

— Abuzer Yakaryilmaz
джерело

Спасибі! Це саме те, що я хотів. Мені було не вдається, як покращити моє запитання, яке було занадто розпливчастим для експертів, і я радий, що ти зрозумів мій намір.

— Vijay D

Ну, то чому б ти не позначив це найкращою відповіддю?

— Cem Say

Бо хто знає, що принесе завтра? Я хотів би через тиждень чи 10 днів після публікації вирішити.

— Vijay D

НП часто характеризується як система доказів, в якій доказчик надсилає доказ довжини полінома детермінованому верифікатору поліноміального часу, після чого не відбувається взаємодії. Клас рекурсивно перелічуваних мов можна охарактеризувати аналогічно, замінивши "многочлен" на "кінцевий".

Крім того, оскільки клас рекурсивних мов R є перетином RE і coRE, ви можете охарактеризувати R як систему доказів, в якій всемогутній доказник може переконати перевірку обмеженого часу як у справедливості правильних тверджень, так і в недійсності помилкові претензії.

Клас EXP має характеристику з точки зору системи доказів з "конкуруючими доказчиками", тобто системою доказування, в якій є доказ, який намагається переконати перевіряючого в тому, що твердження є правдивим, і спростовувач, який намагається переконати перевіряючого, що позов хибний. Докладніше див. Статтю "Зробити ігри короткими" від Feige and Kilian.

— Або Мейр
джерело