Усунення Гаусса з точки зору групових дій

Елімінація Гаусса робить визначальним матричний поліном-час, який можна обчислити. Зменшення складності в обчисленні детермінанта, яка в іншому випадку є сумою експоненціальних доданків, обумовлена ​​наявністю альтернативних негативних ознак (відсутність яких робить обчислення постійними $\#P\mbox{-}hard$ тобто важче, ніж $NP\mbox{-}C$ задач) . Це призводить до певної симетрії у визначнику, наприклад обмін парою рядків або стовпців просто обертає знаки. Я десь читав, напевно, у зв’язках з голографічними алгоритмами, запровадженими Валіантом, що усунення Гаусса можна пояснити з точки зору групових дій, а це, в свою чергу, призводить до загальних методів зниження складності.

Крім того, я відчуваю, що майже все джерело зниження складності для будь-якої обчислювальної проблеми є деякою симетрією. Це правда? Чи можемо ми жорстко формалізувати це з точки зору теорії груп?

Редагувати

Я знайшов посилання . (стор. 2, останній рядок другого абзацу). Я не зрозумів папір належним чином. Якщо моє запитання засноване на неправильному розумінні документа, будь ласка, виправте мене.

$n$$n^2$

Ви можете знайти опис цього - там, де симетрики детермінанта використовуються для усунення Гаусса, одночасно доводячи, що детермінант характеризується його симетрією, - у пропозиції 3.4.3 моєї тези (безсоромне самовключення - але Крім того, я ніколи не бачив, щоб це було так сформульовано так, і це було написано докладно, як ОП просив, хоча я впевнений, що це було зроблено; я був би радий, якщо хтось мав інші посилання).

Щодо ідеї про те, що симетрія завжди призводить до зниження складності (чи ні), крім речей, які вже є в коментарях, див. Це питання та його відповіді.

Цікавим моментом є те, що в перших працях Валіанта про те, що зараз відоме як версія теорії алгебраїчної складності Валіана, він намагався зробити висновок про те, що одна з причин визначального значення є важливою обчислювальною, тому що приблизно всі (тодішні) відомі ефективні алгоритми можуть бути зводиться до лінійної алгебри, а звідти до обчислення детермінант, наприклад, алгоритму FKT для підрахунку відповідностей у плоских графіках. Це, звичайно, перебільшення, але продовжує підтверджуватися дослідженнями голографічних алгоритмів, які часто зводяться до обчислення Пфаффіана (близького родича детермінанта). Безумовно, Валіант знав, що це перебільшення, але ось точна цитата, щоб переконатися, що я не хибно представляю ( Л. Валіан. Класи повноти з алгебри. ACM STOC 1979 ):

Наші основні висновки можна узагальнити приблизно так:

(a) Лінійна алгебра пропонує, по суті, єдину швидку методику обчислення багатовимірних поліномів середнього ступеня

(б) ...

Бувають випадки, коли симетричність проблеми (здається) характеризує її складність. Одним з дуже цікавих прикладів є проблеми задоволення обмежень (ДСП).

Визначення CSP

$U$$\Gamma$$k$$U^k$$\{0, 1\}$$V$$\Gamma$$\phi:V \rightarrow U$

$\Gamma$$U$$\{0, 1\}$$\Gamma$$k$$U$$\{0, 1\}$

Поліморфізми

$\phi_1, \ldots, \phi_t$$f:U^t \rightarrow U$$\phi$$\phi(v) = f(\phi_1(v), \ldots, \phi_t(v))$$f$$t$

Поліморфізм для систем лінійних рівнянь, наприклад, . Зауважте, що . , що задовольняють цю властивість відомо як операція Мальцев. ЦСП, які мають поліморфізм Мальцева, вирішуються шляхом усунення Гаусса.$f(x, y, z) = x + y + z \pmod 2$$f(x, x, y) = f(y, x, x) = y$$f$

З іншого боку, диз'юнкції трьох літералів мають лише диктатори як поліморфізми, тобто функції типу .$f(x, y) = x$

Поліморфізми та складність (гіпотеза про дихотомію)

Поліморфізми насправді мають обчислювальні наслідки: якщо CSP допускає всі поліморфізми , то поліноміально-час зводиться до . Це спосіб офіційно сказати, що CSP який "менш симетричний", ніж інша CSP , насправді складніше.$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_2$$\Gamma_1$

Основна відкрита проблема в теорії складності полягає в характеристиці твердості ОСП. Гіпотеза про дихотомію Федера та Варді говорить про те, що будь-яка ОСП є або P, або NP-повною. Гіпотезу можна звести до твердження про поліморфізми: CSP є важким для NP і лише тоді, коли єдині поліморфізми, які він визнає, є "диктаторами" (інакше це є в P). Тобто CSP важко, лише якщо немає місцевого способу формування справжніх нових рішень зі старих рішень. Відома, якщо частина (твердість) відома, але єдина, якщо частина (проектування алгоритму багаточастотності) відкрита.

Однак важливим випадком, коли ми маємо дихотомію, є булі CSP (де ). Згідно з теоремою Шефера , булева CSP є в P, якщо вона допускає один з 6 поліморфізмів, інакше вона є NP-повною. Шість поліморфізмів - це в основному те, що вам потрібно вирішити проблему або шляхом гауссової елімінації, або шляхом розповсюдження (як це робиться, наприклад, з ріжковою сіткою), або вирішити її тривіальним завданням.$U = \{0, 1\}$

Щоб прочитати більше про поліморфізми, універсальну алгебру та гіпотезу про дихотомію, ви можете ознайомитися з опитуванням Булатова .

Поліморфізми та наближення

Я також рекомендую лекцію IAS Прасада Рагхавендра, де він додає свій результатщо забезпечує оптимальну приблизність будь-якої ДСП, припускаючи унікальну гіпотезу на подібні рамки. На високому рівні, якщо всі поліморфізми (це потрібно узагальнити для вирішення проблем наближення) CSP близькі до диктаторів, можна використовувати CSP, щоб створити спосіб перевірити, чи функція є диктатором, і виявляється, що бути всім необхідним для того, щоб надати жорсткість наближення наближення від унікальних ігор. Це дає напрямок твердості його результату; алгоритмічний напрямок полягає в тому, що, коли в ДСП є поліморфізм, далекий від диктатора, можна використовувати принцип інваріантності (узагальнення теорем центральних границь), щоб стверджувати, що алгоритм округлення СДП дає хороший наближення. Дійсно схематична інтуїція алгоритмічної частини: поліморфізм, далекий від диктатора. t будьте уважні, чи вони задаються як аргументи (розподіл над) присвоєння змінних або гауссових випадкових змінних, які локально наближають розподіл до присвоєнь змінних. Це той самий спосіб, що сума-функція "не хвилює", якщо їй задано дискретні випадкові величини з малою дисперсією або гауссові rv з однаковою дисперсією за центральною граничною теоремою. Необхідні гауссові випадкові величини, які нам потрібні, можна обчислити з послаблення СДП проблеми CSP. Тож ми знаходимо поліморфізм, який далекий від диктатора, подаємо йому гауссові зразки і отримуємо хороше рішення назад. якщо йому задані дискретні випадкові величини з малою дисперсією або гауссові rv з однаковою дисперсією, за центральною граничною теоремою. Необхідні гауссові випадкові величини, які нам потрібні, можна обчислити з послаблення СДП проблеми CSP. Тож ми знаходимо поліморфізм, який далекий від диктатора, подаємо йому гауссові зразки і отримуємо хороше рішення назад. якщо йому задані дискретні випадкові величини з малою дисперсією або гауссові rv з однаковою дисперсією, за центральною граничною теоремою. Необхідні гауссові випадкові величини, які нам потрібні, можна обчислити з послаблення СДП проблеми CSP. Тож ми знаходимо поліморфізм, який далекий від диктатора, подаємо йому гауссові зразки і отримуємо хороше рішення назад.