Важкі проблеми для графіків вищого роду

17

Плоскі графіки мають рід нуля. Графіки, вбудовані на торі, мають максимум 1. Моє питання просте:

Чи є проблеми, які поліноміально вирішуються на плоских графах, але NP-жорсткі на графіках роду 1?
Більш загально, чи є проблеми, поліноміально розв'язувані на графах роду g, але NP-жорсткі на графах роду> g?

Для другого питання, чи хочете ви, щоб проблема була NP-жорсткою для графіків роду> = k, де k - константа більше, ніж g? АЛЕ Ви просто хочете, щоб ця проблема була NP-жорсткою для графіків, рід яких не менший ніж g (що еквівалентно тому, що NP-жорстке для загальних графіків)?

— Робін Котарі

1

Я шукаю задачі NP-Hard для графіків роду> = k, де k - константа більше, ніж g.

— Шива Кінталі

16

Це публічність моєї власної роботи, але перехресний номер та 1-планарність тривіально вирішуються в плоских графах, але важко для графіків першого роду. Дивіться http://arxiv.org/abs/1203.5944

— хтось
джерело

3

"Графік є майже планарним, якщо його можна отримати з плоского графа, додавши ребро. Графік є 1-планарним, якщо він має малюнок, де кожен край перетинається щонайбільше один інший край. Ми показуємо, що це NP -хорошо вирішити, чи заданий близькоплощинний графік є 1-планарним ". Мені, мабуть, чогось не вистачає. Чому не кожен близькопланарний графік є також 1-планарним?

— Тайсон Вільямс

4

Я думаю, що ти кажеш, що ти можеш просто взяти планарне вбудовування

і додати край назад. Однак цей додатковий край може перетнути більше одного краю, порушуючи 1-планарність.

G - e

$G-e$

— Тимофій Вс

@TimothySun Так. Кожен край, крім

буде перекреслений не більше одного разу (через

), але

може бути перекреслений більш ніж одним іншим ребром, що не дозволено. Дякую.

e

$e$

e

$e$

e

$e$

— Тайсон Вільямс

4

Якщо проблеми з іграшками добре:

Нехай і - деякий графік роду . Для CNF-формули, нехай є деяким кодуванням як планарний графік плюс неперервна копія $g\in\mathbb{N}$ $H$ $g+1$ $\phi$ $G_\phi$ $\phi$ $H$ .

З огляду на , що є графіком роду , важко вирішити, чи є задоволеним. Однак ця проблема стає тривіальною, якщо вона обмежується графами роду . $G_\phi$ $g+1$ $\phi$ $\leq g$

— Раду Куртикапей
джерело

2

яка ця проблема на графах роду

\leq g

$\leq g$

— Сашо Ніколов

1

Усі графіки

мають рід

. Таким чином, якщо ви обмежите проблему графами роду

, ви завжди можете відхилити.

G_{ϕ}

$G_\phi$

g + 1

$g+1$

g

$g$

— Radu Curticapean

ах, це стає справді тривіально, я бачу

— Сашо Ніколов

2

EDIT (2012-09-05): коментарі Джеффа та Раду правильні. Наведений результат не дає відповіді на запитання. Щоб розширити коментар Раду, ось зв'язаний алгоритм Браві, який дає алгоритм укладання тензорів сірника на графіку з родом із часом де - мінімальна кількість ребер, яку потрібно видалити з , щоб зробити її площиною. $G$ $g$ $T=poly(n) + 2^{2g} O(m^3)$ $m$ $G$

Цай, Лу та Ся недавно довели наступну дихотомію для проблем підрахунку #CSP:

Доведено теореми про дихотомію складності в рамках підрахунку проблем ОСП. Функції локального обмеження приймають булеві входи і можуть бути довільними симетричними функціями реальної величини. Ми доводимо, що кожна проблема в цьому класі належить саме до трьох категорій:

(1) ті, які можна відстежувати (тобто поліноміальний час, що обчислюється) на загальних графах, або
(2) ті, які # P-важкі на загальних графах, але відстежуються на плоских графах , або
(3) ті, які є # P-жорсткими навіть на плоских графіках.

Критерії класифікації явні.

— Мартін Шварц
джерело

2

Це не відповідає на запитання. Чи можна розділити категорію (2) на (2a) для плоских графіків, але # P-жорсткий для тороїдальних графіків, та (2b) для графіків обмеженого роду, але # P-жорсткий для графіків без обмеженого роду?

— Jeffε

3

Випадок (2) складається з проблем, які можна звести до підрахунку досконалих відповідностей у плоских графах шляхом введення локальних планарних гаджетів. Відомо також, що ідеальні відповідність можна порахувати в поліноміальному часі на графіках обмеженого роду. Таким чином, всі проблеми у випадку (2) насправді відстежуються на графах з обмеженими родами.

— Radu Curticapean

2

$g$ $g$ $X_g$ бути будь-якою проблемою, що на графіках роду більше NP-повних $g$ (наприклад, 3-забарвлення). Для кожного фіксованого $g$ , проблема "Чи вхідний графік має максимум рід $g$ чи це в $X_g$ (або обидва)? "є NP-завершеним для загального введення, але має алгоритм поліноміального часу, коли вхід обмежений максимально графами роду. $g$ .

Ця ідея може бути використана досить загально для створення проблем, які "важкі" для загальних графіків, але "легкі" для деяких класів $\mathcal C$ графіків, доки "легко" визначити членство в $\mathcal C$ .

— Девід Річербі
джерело