Математичний (категоричний) опис класів типів

Функціональну мову можна розглядати як категорію, де її об'єктами є типи, а між ними функціонують морфізми.

Як класи типів вписуються в цю модель?

Я припускаю, що ми повинні розглядати лише ті реалізації, які задовольняють обмеження, яке має більшість класів типів, але вони не виражені в Haskell. Наприклад, ми повинні розглядати лише ті реалізації, Functorдля яких fmap id ≡ idі fmap f . fmap g ≡ fmap (f . g).

Або є якісь інші теоретичні основи для типів класів (наприклад, на основі набраних лямбда-обчислень)?

Як класи типів вписуються в цю модель?

Коротка відповідь: вони цього не роблять.

Кожного разу, коли ви впроваджуєте мову примусових класів, класів типів чи інших механізмів спеціального поліморфізму, головне питання дизайну, з яким ви стикаєтесь, - це узгодженість .

По суті, вам потрібно забезпечити, щоб роздільна здатність класу була детермінованою, щоб добре набрана програма мала єдину інтерпретацію. Наприклад, якщо ви могли б надати кілька екземплярів для одного типу в одному і тому ж обсязі, ви можете потенційно написати неоднозначні програми на зразок цієї:

class Blah a where
   blah : a -> String 

instance Blah T where
   blah _ = "Hello"

instance Blah T where
   blah _ = "Goodbye"

v :: T = ...

main :: IO ()
main = print (blah v)  -- does this print "Hello" or "Goodbye"?

Залежно від вибору примірника, який робить компілятор, blah vможе дорівнювати "Hello"або "Goodbye". Отже, значення програми не було б повністю визначено синтаксисом програми, а, скоріше, може впливати довільний вибір, який робить компілятор.

Рішення цієї проблеми Haskell полягає в тому, щоб вимагати, щоб кожен тип мав щонайменше один екземпляр для кожного типу класу. Щоб забезпечити це, він дозволяє декларації екземплярів лише на верхньому рівні, а також робить усі декларації глобальними. Таким чином, компілятор завжди може подати помилку, якщо буде зроблено неоднозначне оголошення екземпляра.

Однак, декларування в глобальному масштабі порушує композиційність семантики. Що можна зробити, щоб відновити, - це надати розробок семантики для мови програмування - тобто ви можете показати, як перекласти програми Haskell на більш чудову, більш композиційну мову.

Це фактично дає вам змогу складати типові класи, а також - це зазвичай називається "переклад доказів" або "перехід словника" в колах Haskell і є одним з ранніх етапів більшості компіляторів Haskell.

Класові класи також є хорошим прикладом того, як дизайн мови програмування відрізняється від теорії чистого типу. Класові класи - це справді дивовижна особливість мови, але вони доволі недоброзичливі з доказово-теоретичної точки зору. (Ось чому Агда взагалі не має класів машинобудування, і чому Coq робить їх частиною своєї евристичної інфраструктури висновку.)