Комбінаторне вбудовування графіка

Тут: http://www.planarity.org/Klein_elementar_graph_theory.pdf (у вкладках глави) дається визначення комбінаторного вбудовування плоского графа. (з визначенням граней тощо). Хоча це можна було б легко використовувати для будь-якого графіка, вони визначають планарний графік як графік, для якого дотримується формула Ейлера (якщо вважати, що графік пов'язаний). Цілком зрозуміло, що для кожного плоского графіка визначення граней у комбінаторному вбудові аналогічне визначенню граней у топологічному вбудовуванні. (якщо припустити, що графік підключений. Інакше при комбінаторному вкладанні у нас буде нескінченна грань для кожного підключеного компонента)

Питання полягає в тому, що якщо для якогось підключеного графа його комбінаторне вбудовування відповідає формулі Ейлера, чи означає це, що цей графік є планарним в топологічному сенсі (він має площинне вбудовування, тобто плоский графік)?

graph-theory co.combinatorics planar-graphs

— Фінський
джерело

Пізніше в цій роботі вони дають відповідь, що це можливо. Але чи може хтось надати деякі посилання на доказ?

— Фінський

Це насправді менше про графік як такий і більше про топологію. Комбінаторне вбудовування визначає 2-кратне, топологічний простір, в якому кожна точка має гомеоморфне сусідство з двовимірним відкритим диском: вбудовування дозволяє визначити обличчя, і ми можемо визначити топологічний простір, вибравши диск для кожного обличчя та склеюючи їх по краях графіка. Добре відома теорема про топологію (так звану класифікацію 2-многообразий) нам точно говорить, які можливі 2-множини, і всі вони відрізняються один від одного або по орієнтації, або по одній характеристиці Ейлера (або обох ) - див. Http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/zeeman.pdfдеякі розумні конспекти лекцій з цього приводу, які включають докази, які ви просите. У цій класифікації немає інших 2-багатообразників, які б мали таку саму характеристику Ейлера, що і сфера, тому якщо ви обчислите характеристику Ейлера і виявите, що вона відповідає формулі для сфери, ви знаєте, що ваше вбудовування повинно бути у сфері.

Пошук вбудовування з фактичними геометричними координатами в площині, коли ви маєте планарне комбінаторне вбудовування, не зовсім тривіальний, але це можна зробити, наприклад, використовуючи теорію лісів Шнайдера. Наприклад, у мене є деякі конспекти лекцій на веб- сайті http://www.ics.uci.edu/~eppstein/gina/schnyder/ .

— Девід Еппштейн
джерело

Дуже дякую за таку обширну відповідь! Я прочитав перший документ і, здається, зрозумів доказ. Але в мене залишається одне питання: чи все це означає, що якщо ми визначатимемо поверхні, що нам подобаються (я маю на увазі деяку довільну підмножину ребер, а не як у комбінаторному вкладанні з порядком проти годинникової стрілки та ін.), Склеюємо їх усі так, щоб Клей є лише на спільних краях 2 поверхонь, визначте отримані «вузли» у кінцевих точках ребер як вершини І якщо формула Ейлера дотримується, це плоский графік?

— Фінський

Ви повинні бути обережними, щоб отримати колектор: грані вбудовування повинні бути топологічними дисками, вам не дозволяється залишати незаклеєні краї, кожен край повинен бути приклеєний лише до іншого краю, а в кожній вершині має бути тільки один цикл країв і граней, склеєних навколо нього (не на зразок того, що ви отримаєте, якщо склеїти дві шишки разом на їх кінчиках). Також потрібно або почати з підключеного графіка, або порахувати характеристику Ейлера для кожного компонента окремо. Але якщо все це правда, і формула Ейлера дотримується, то так, це планарно.

— Девід Еппштейн

Так, забув про ці випадки, впевнений, що вони також мають дотримуватися. Велике спасибі!

— Фінський