Чи можна довести

Результат 1: Теорема Лініяля-Мансура-Нісана говорить, що вага фур'є функцій, обчислених ланцюгами $\mathsf{AC}^0$ , зосереджений на підмножинах невеликого розміру з високою ймовірністю.

Результат 2: має свою фур'єрну масу, сконцентровану на коефіцієнті ефективності ступеня . $\mathsf{PARITY}$ $n$

Запитання: Чи є спосіб довести (якщо це можна довести) не можна обчислити за допомогою ланцюгів за допомогою / з використанням результатів 1 і 2? $\mathsf{PARITY}$ $\mathsf{AC}^0$

— Статтрав
джерело

Чи не очевидно це застосування теореми Лініяла-Мансура-Нісана? Те, як доведена теорема ЛМН (зокрема, доведена вона ймовірнісним аргументом чи ні), не має значення.

— Цуйосі Іто

в той же час, чи не доведена теорема Лініяла-Мансура-Нісана, приймаючи теорему Хастада? Мені це здається, як собака переслідує власний хвіст ...

— Алессандро Косентіно

Ось так виведена нижня межа розміру ланцюга AC0, що наближає паритет, у примітках Райана О'Доннелла . Дивіться наслідки 32.

— Сашо Ніколов

Я думаю, що у вашому коментарі цікавіше питання: чи є кожна функція, спектр якого фур'є сконцентрований на низькорівневих коефіцієнтах, що обчислюються малогабаритними ланцюгами AC0.

— Сашо Ніколов

@Strattav Тоді ви можете задати це питання.

— Тайсон Вільямс

Теорема LMN показує, що якщо f булева функція обчислюється ланцюгом розміром M, $(f:\{-1,1\}^n \rightarrow \{-1,1\})$ $\text{AC}^0$

\sum_{S : | S | > k} \hat{f} (S)^{2} \leq 2^{- Ω (k / (\log M)^{d - 1})}

$\sum_{S:|S|> k} \hat f(S)^{2} \leq 2^{-\Omega(k/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow \hat f([n])^{2} \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

є не що інше, як кореляція f з функцією паритету . Нехай бути частка входівде відрізняється від . $|\hat f([n])|$ $(\prod_{i = 1}^{n}x_i)$ $\delta$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} 1 - 2 δ \leq | 1 - 2 δ | & = | \hat{f} ([n]) | \leq 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow δ & \geq 1 - 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} 1 -2 \delta \leq |1 - 2\delta| &= |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow \delta &\geq 1 - 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})} \end{align}$

Отже, якщо M є , при дорівнює , $poly(n)$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} δ & \leq \frac{1}{2^{n}} \\ \Rightarrow 2^{n} & \geq 2^{(c n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow (\log M)^{d - 1} & \geq (c - 1) n \\ \Rightarrow M & \geq 2^{Ω (n^{1 / d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} \delta &\leq \frac{1}{2^n}\\ \Rightarrow 2^n &\geq 2^{(cn/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow (\log M)^{d-1} &\geq (c-1)n \\ \Rightarrow M &\geq 2^{\Omega (n^{1/d-1})} \end{align}$

So, LMN theorem not only proves that $PARITY$ cannot be computed by $AC^{0}$ circuits, it also shows that $PARITY$ has low correlation with $AC^{0}$ circuits.

— Tulasi
джерело