Застосування теорії представлення симетричної групи

42

Натхненний цим питанням, зокрема заключним пунктом відповіді Ор, у мене є таке запитання:

Чи знаєте ви про будь-яке застосування теорії представлення симетричної групи в TCS?

Симетрична група - це група всіх перестановок зі складом групової операції. Представлення - це гомоморфізм від до загальної лінійної групи неперевернутих складних матриць. Представлення діє на шляхом матричного множення. Непридатне подання - це дія, яка не залишає належного підпростору інваріантним. Невідворотні уявлення кінцевих груп дозволяють визначити перетворення Фур'є над неабелевими групами $S_n$ $\{1, \ldots, n\}$ $S_n$ $S_n$ $n \times n$ $\mathbb{C}^n$ $S_n$ $\mathbb{C}^n$ . Це перетворення Фур'є поділяє деякі приємні властивості дискретного перетворення Фур'є над циклічними / абелевими групами. Наприклад, згортання стає точковим множенням на основі Фур'є.

Теорія представлення симетричної групи прекрасно поєднується. Кожному невідворотному відповідає цілий розділ . Чи знайшла ця структура та / або перетворення Фур'є над симетричною групою будь-яке застосування в TCS? $S_n$ $n$

— Сашо Ніколов
джерело

дивіться також додатки симетричної групи , wikipedia

— vzn

всі дуже цікаві відповіді. мені буде важко вибрати той, який прийняти.

— Сашо Ніколов

гідний суто теоретичний вступ / огляд, Young Tableaux та представлення симетричної групи, Чжао

— vzn

2

Цей документ якраз потрапив у Quant-ph arXiv: Рішення типовості двох сторін, використовуючи теорію представлення симетричної групи Яніса Нотцеля.

— Тайсон Вільямс,

Матрична факторизація на основі симетрії Егнера та Пушеля використовує елементи та теорії представлення для ефективної матричної факторизації / розкладання / множення. див. S3.2 про перм-пермську симетрію.

S_{n}

$S_n$

— vzn

27

Ось кілька інших прикладів.

Діаконіс і Шахшахані (1981) вивчили, скільки випадкових транспозицій потрібно для того, щоб генерувати майже рівномірну перестановку. Вони виявили різкий поріг 1/2 n log (n) +/- O (n). Генерування випадкової перестановки за допомогою випадкових транспозицій .
Кассабов (2005) довів, що на симетричній групі можна побудувати обмежений ступінь розширення. Симетричні групи та графіки розширювачів .
Kuperberg, Lovett and Peled (2012) довели, що існує невеликий набір перестановок, які діють рівномірно на k-кортежі. Імовірнісне існування жорстких комбінаторних структур .

— Шахар Ловетт
джерело

3

Дякую Шахар, і ласкаво просимо до cstheory! Я взяв на себе сміття виправити ваші посилання: вони були трохи невідповідними

— Сашо Ніколов

14

Дуже гарне запитання. Я не знаю повної відповіді і хотів би знати це сам. Однак вам може бути цікаво наступне. Якщо замість групи ми вважаємо його моноїдом 0-Хекке , він має представлення на певному класі цілих матриць, який діє тропічним -множенням. Це має багато цікавих застосувань у строгології, через декілька джерел найкоротших шляхів у сітоподібних графіках. Детальніше дивіться у моєму технічному звіті: $S_n$ $H_0(S_n)$ $(\min,+)$

А. Тіскін. Напівлокальне порівняння струн: Алгоритмічні методи та застосування. http://arxiv.org/abs/0707.3619

— Олександр Тискін
джерело

Дякую! Це виглядає дуже цікаво, і я обов'язково це перевіряю.

— Сашо Ніколов

14

Ось один із прикладів, які я знаю:

`` Про ' Концепцію ' Log-Rank 'у складності спілкування' ' , Р.Раз, Б.Шпікер,

Proceeding of the 34th FOCS, 1993, pp. 168-177
Combinatorica 15(4) (1995) pp. 567-588

Я вважаю, що там набагато більше.

— Клим
джерело

3

Не могли б ви підсумувати, які моделі представлення та як вони застосовуються?

— Vijay D

@VijayD, напевно, Клім знає більше, але проблема тут полягає в тому, як складність зв'язку функції пов'язаний з журналом його рангу (мислення як реальна матриця). Вони будують рангу і CC . Ранг обчислюється, записуючи його як суму матриць у регулярному поданні

f : {0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^n \times \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$

f

$f$

2^{d} \times 2^{d}

$2^d \times 2^d$

f

$f$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

Ω (n \log \log n)

$\Omega(n \log \log n)$

f

$f$

S_{n}

$S_n$

— Сашо Ніколов

Насправді я прочитав цей документ ще деякий час тому, тому зараз я його точно не пам’ятаю.

— Клим

11

Ось приклад з квантових обчислень:

Роланд, Джеремі; Розетлер, Мартін; Магнін, Лойк; Ambainis, Andris (2011), "Супротивники симетрії для квантового генерування держави", Матеріали 26-ї щорічної конференції IEEE про обчислювальну складність, CCC '11, комп'ютерне товариство IEEE, стор. 167–177, дої : 10.1109 / CCC. 2011.24

Вони показують, що складність квантового запиту певної задачі під назвою стирання індексів є використовуючи теорію представлення симетричної групи для побудови оптимальної матриці супротивника для включення в квантовий метод противника. $\Omega(\sqrt{n})$

— Робін Котарі
джерело

10

Кнут, 3-й том «Мистецтва комп’ютерного програмування» присвячений пошуку та сортуванню та присвячує багато уваги комбінаториці та перестановкам та листуванню Робінсона-Шенстеда-Кнута , яке є центральним у теорії представлення симетричної групи.
Існує кілька робіт Елліс-Фрідгута-Пілпеля та Елліса-Фрідгута-Філіуса, які вирішують екстремальні комбінаторні задачі за допомогою гармонічного аналізу на . Не зовсім TCS, але досить близько. $S_n$
Ajtai мав на початку 90-х чудові результати модульного представлення які були мотивовані питаннями складності обчислювальної техніки. Я не пам’ятаю деталей, чи вони були опубліковані, але це варто переглянути! $S_n$

— Гіл Калай
джерело

Дякую Гіл! Я вважаю, що один із робіт Ajtaj, який ви маєте на увазі, це такий: eccc.hpi-web.de/eccc-reports/1994/TR94-015/index.html . Я думаю, що заявка полягає у доказовій складності принципу голубої дуги, але я ще не зовсім розумію зв’язок.

— Сашо Ніколов

6

Симетрична група заперечує сильну вибірку Фур'є Мора, Рассела, Шульмана

"ми показуємо, що приховану задачу підгрупи над симетричною групою неможливо ефективно вирішити шляхом сильної вибірки Фур'є ... Ці результати застосовуються до особливого випадку, що стосується проблеми грамотного ізоморфізму".

з підключенням до розв’язання задачі Графічного ізоморфізму за допомогою підходів до управління якістю

сек. 5 Теорія представлення симетричної групи

— взн
джерело

5

Більше статистики, ніж інформатики, але все ж цікаво: у главі 8 в монографії Діаконіса про групові представлення в імовірності та статистиці розроблені методи спектрального аналізу даних, пов'язаних із групоюЦе розширює більш класичний спектральний аналіз даних часових рядів, коли природним є дійсні чи цілі числа, що додаються. Має сенс вважати, що є коли дані даються за рейтингами. Монографія переходить до інтерпретації коефіцієнтів Фур'є в рейтингових даних. У цьому випадку набір даних представлений розрідженим $G$ $G$ $G$ $S_n$ $f:S_n \rightarrow \mathbb{R}^+$ яка відображає рейтинги (задані перестановкою) до тієї частини населення, яка віддає перевагу рейтингу.

Також у цій же главі для виявлення моделей та тестів ANOVA використовується метод Фур'є за симетричними та іншими групами.

Природним продовженням цього буде статистика статистичного навчання для ранжування задач, яка виграє від теоретичних методик представлення таким чином, як теорія навчання бінарної класифікації при рівномірному розподілі отримала користь від аналізу Фур’є на булевому кубі.

— Сашо Ніколов
джерело

Яка природна структура групи для ранжування проблем?

— Суреш Венкат

1

@ Суреш я мав на увазі симетричну групу, але мій останній абзац - це більш бажане мислення, ніж усе інше. Я мав на увазі проблему, схожу на хунту, в ранжируванні: вивчення функції що залежить від відносного впорядкування лише кількох елементів з кількох зразків. Можливо, техніка фур’є може дати нетривіальні межі вибірки

f : S_{n} \to {0, 1}

$f:S_n \rightarrow \{0, 1\}$

[n]

$[n]$

— Сашо Ніколов,

5

Теорія представлення симетричної групи відіграє ключову роль у підході Теорії геометричної складності до нижчих меж детермінанта або множення матриці.

Бюргіссер і Ікенмайєр доводять нижню межу граничного рангу множення матриць, використовуючи теорію представлення . $S_n$
Про те, як теорія представлення стосується нижчих меж детермінанта, див. Теорія геометричної складності II: До явних перешкод для вбудовування серед різновидів класів та теорії складності геометрії VI: ﬂ ip через позитивність $S_n$

— Джошуа Грохов
джерело

4

Кандидатська дисертація Хуанга "ПРОБАБІЛІСТИЧНЕ ОБ'ЄДНАННЯ ТА НАВЧАННЯ В УПРАВЛІННЯХ: експлуатація структурних розкладів симетричної групи" . додаток - це "справжній сценарій відстеження кількох людей на основі камери".
Теоретичне імовірнісне висновок Фур'є щодо перестановок Хуанга, Гостріна, Гібаса; Journal of Machine Learning Research 10 (2009) 997-1070. див., наприклад, сек. 5. Теорія представництва на симетричній групі
ще один папір із додатком для багатодорожнього руху. Багатооб'єктне відстеження із зображеннями симетричної групи (2007) Кондора, Говарда, Джебари
Вивчення розподілу ймовірностей за перестановками засобами коефіцієнтів Фур'є, Ірурозки, Кальво, Лозано (відділ CS / AI). див. розділ 2 Перетворення Фур'є на симетричну групу

— взн
джерело

1

Я б запропонував об'єднати цю відповідь з іншою довідкою про перестановки навчання

— Сашо Ніколов,

ок ... злиття ...

— vzn

див. також Інтерпретація фазового спектра в аналізі Фур'є з даних про часткове ранжирування та підхід до обробки сигналів для аналізу Фур'є в рейтингових даних: важливість фази Какарала, яка, здається, поширюється набагато раніше на роботу Діаконіса

— вн

-1

Застосування теорії представлення симетричних груп для обчислення хроматичних поліномів графіків Кліном та Печем

— взн
джерело

ps

— додаток—

-2

Цей високо цитований документ Білла, 1997 р., як видається, STOC доводить, що квантове обчислення перетворень Фур'є за симетричними групами знаходиться в BQP, тобто квантовому поліноміальному часі

— взн
джерело

2

знову це стосується іншого квантового паперу, на який ви посилаєтесь. основною мотивацією для розвитку неабелевої трансформації Фур'є було використання її для вирішення прихованої задачі підгрупи над симетричною групою. інший документ, який ви цитуєте, показує, що такий підхід не вирішує проблеми.

— Сашо Ніколов

btw, щоб було зрозуміло: що я маю на увазі під вищевказаним коментарем, - це запропонувати об'єднати цю відповідь з іншою відповіддю QM та пояснити, як вони пов’язані між собою (бо вони є)

— Сашо Ніколов,

добре Мур та інші цитують Білса, хоча це не так, як я знайшов папір Білса. може злитися пізніше, але зараз деякій аудиторії, здається, не сподобається ця Білс-реф з будь-якої причини (стара, замінена і т. д.?)

— vzn

я не впевнений, я думаю, що це нормально. одна проблема для мене полягає в тому, що ви не пояснюєте, чому важливо вміти обчислювати неабелеву трансформацію фур'є, як вона мотивується.

— Сашо Ніколов

1

Я вважаю за краще, якщо відповіді стоять самостійно і дають читачеві достатньо підказки, щоб він міг вирішити, читати цілий папір чи ні. Я хотів би, щоб відповідь показала більше, ніж поверхневе розуміння матеріалу.

— Сашо Ніколов

-5

старіший приклад, але все ще з недавніми / поточними дослідженнями, частина цієї теорії виявляється в математиці "ідеального переміщення" , розглядається як елемент симетричної групи &, що було відомим відкриттям у той час. [1] згадує програми ідеального перемикання на алгоритми паралельної обробки, а також підключення до Cooley-Tukey O (n log n) DFT. [2] є більш пізнім. ідеальне переміщення виявляється при паралельній обробці [3], розробці пам'яті та сортування мереж.

[1] Математика ідеального переміщення Діаконіс, Грем, Кантор. 1983 рік

[2] Цикли багатофункціональної перестановки перетасовки Елліса, Фан, Шалліта (2002)

[3] Паралельна обробка з ідеальним переміщенням від Stone, 1971

[4] Омега-мережа, заснована на ідеальному перетасуванні

[5] Паралельні та послідовні перестановки на місці та ідеальне переміщення за допомогою інволюцій Ян та ін (2012)

— взн
джерело

1

Чи використовується теорія представництва в цих роботах?

— Сашо Ніколов

Здається, це був окремий випадок

— взн

2

який особливий випадок чого? ідеальне переміщення - перестановка. Я запитую, чи застосовується теорія представництва в доказах у цих роботах? я не знайшов жодного.

— Сашо Ніколов

3

інакше існують імовірнісні моделі (недосконалого) переміщення, і повторне переміщення за допомогою однієї з цих моделей є випадковим переходом на перестановки. іноді можна проаналізувати час змішування такої випадкової прогулянки, використовуючи аналіз фур’є на симетричній групі: Шашар наводив один приклад переміщення випадкових транспозицій. ваші посилання цікаві, але я не бачу ніякого зв’язку з теорією представництва: статті стосуються кількох (два в [1]) детермінованих перетасовок та перетворювальних груп, які вони створюють. аналіз здається комбінаторним

— Сашо Ніколов

недосконале перетасування теж цікаве, але весь пт відповіді ідеально перетасовує. Здається, зазначені вище результати можуть бути перероблені або доведені за допомогою теорії представлення, або використовуються деякі основні аспекти, без очевидних / прямих посилань на них. Примітка шахарів відповідає цитуючи Діаконіса, того самого автора на одній із робіт у цій відповіді. Іншими словами, вищезгадані автори, безумовно, могли б відповісти на ваше запитання краще, але я сподіваюся, що вони відповідуть хоча б дещо ствердно =) ... окрім того, ви щойно описали теорію представлення як "чудово комбінаторну" у вашому власному запитанні!

— vzn