Параметр графіка, можливо, пов'язаний із шириною ширини

Мене цікавлять графіки на вершинах, які можна отримати за допомогою наступного процесу.$n$

1. Почніть з довільного графіка на k ≤ n вершин. Позначте всі вершини в G як невикористані .$G$$k\le n$$G$
2. Проводять новий граф , додавши нову вершину V , який з'єднаний з одним або більше невикористаних вершин в G , і не з'єднаний ні з якими б вершин в G . Позначити v як невикористаний .$G'$$v$$G$$G$$v$
3. Етикетка однієї з вершин в , в якій v пов'язана , як використовується .$G'$$v$
4. Встановіть на G ′ і повторіть з кроку 2, поки G не містить n вершин.$G$$G'$$G$$n$

Назвіть такі графіки "графіками складності " (вибачення за розпливчасту термінологію). Наприклад, якщо G - графік складності 1, G - шлях.$k$$G$$G$

Я хотів би знати, чи вивчали цей процес раніше. Зокрема, для довільного , чи є NP-повним визначення того, чи граф має складність k ?$k$$k$

Ця проблема виглядає дещо схожою на питання про те, чи є частковою k -грамою , тобто має ширину k шириною k . Відомо, що визначення того, чи має G ширину k , повна NP. Однак деякі графіки (наприклад, зірки) можуть мати значно меншу ширину, ніж міра складності, про яку йдеться тут.$G$$k$ $k$$G$$k$

4 жовтня 2012: Питання перетинатися відправлений в MathOverflow після не було ніякої переконливої відповіді через тиждень (хоча спасибі за інформацію про причинного потоків).

Хоча ми раніше про це особисто спілкувалися, я додаю це, сподіваючись, що це дозволить комусь іншому дати повну відповідь.

У процесі додавання вершин визначте часткову функцію від кожної вершини v, яка звикає, до вершини, яка була додана при використанні v . Тоді виявляється, що f - функція (причинної) течії (стор. 39), яка є обмеженою версією покриття шляху. Дійсно, ваш опис цих графіків "складності k " (з урахуванням набору вершин, які мають бути спочатку невикористаними вершинами, і кінцеві невикористані вершини) - це саме зіркове розкладання "геометрії" з причинним потоком (с. 46 вищезгаданої статті).$f:V(G) \rightharpoonup V(G)$$v$$v$$f$

Хоча ці "причинно-наслідкові потоки" вивчалися в основному в контексті (на основі вимірювання) квантових обчислень - де вони мотивовані певними структурами унітарних схем - існують графіко-теоретичні результати щодо них, які повністю відокремлені від квантових обчислень:

Кінцеві точки модуля унікальності : графіки зі «складністю  » - це саме ті, для яких існують (можливо перетинаються) множини S , T ⊆ V ( G ) , обидва розміру k , такі, що G має рівно одну кришку шляху розміром k , шлях якої старт в S і закінчується в Т .$k$$S,T \subseteq V(G)$$k$$G$$k$$S$$T$

Екстремальні графіки : Графік на вершин, який має "складність k ", має максимум k n - ( k + $n$$k$ ребра.$kn - \binom{k+1}{2}$

Використовуючи ці результати та задавши кандидатську пару множин , визначення того, чи вони "піддають" унікальне покриття шляху таким чином, можна визначити за час O ( k 2 n ) ; але виявлення того, чи існують такі набори кінцевих точок, є очевидною складністю, а екстремальний результат, зазначений вище (що є лише необхідною умовою), представляє сучасний рівень техніки в ефективних критеріях, щоб визначити, чи існують такі набори.$S,T$$O(k^2 n)$

Усі графіки складності мають ширину шляху не більше k . На кожному кроці набір невикористаних вузлів є роздільником, що відокремлює використані вузли від тих, що вже створені. Отже, на кожному кроці, додаючи вершину, ви можете створити мішок, що містить цю вершину плюс усі невикористані вершини, і з'єднати мішок в кінці розкладання шляху. Це буде дійсною декомпозицією шляху.$k$$k$

Через "який з'єднаний" в точках 3 і 2 ширина шляху може бути набагато меншою, ніж k . Я не впевнений у вирішенні питання про те, чи G є складністю k , але, як каже Ніл, повинно бути покриття шляху розміром k, але не тільки покриття шляху, але шляхи повинні бути індуковані. І між шляхами ми можемо мати цей зигзагоподібний малюнок. Ми можемо за f ( k ) ⋅ p o l y ( n ) часу обчислити оптимальну декомпозицію шляху, тоді ми можемо використовувати цю декомпозицію для виконання динамічного програмування, відстежуючи різні сегменти цих $v$$k$$G$$k$$f(k) \cdot poly(n)$$k$шляхи, до якого шляху вони належать та порядок сегментів, що належать до одного й того ж шляху. І для кожної пари сегментів, що належать до різних шляхів, нам потрібно знати лише перший і останній шлях зигзагу.

Тому я думаю, що ми можемо вирішити, чи граф має складність за f ( k ) ⋅ p o l y ( n ) час.$k$$f(k) \cdot poly(n)$