Чи всі функції, вага фур'є яких сконцентрований на наборах малого розміру, обчислюються ланцюгами AC0?

Чи обчислюються всі функції, вага фур'є яких сконцентрований на наборах малого розміру (або з умовами з низьким ступенем), за допомогою схем ? $\mathsf{AC}^0$

— Статтрав
джерело

Це питання звучить цікаво, хоча мені не вистачає досвіду в аналізі фур’є. Буду вдячний посилання на суміжну літературу.

— Маркус

@Markus: ця книга 2.0 від Райана О'Доннелла - відмінна довідка: contrib.andrew.cmu.edu/~ryanod

— Алессандро

майже зворотне до Linial, Mansour, Nissan 1993 ? підсумок aaronsons, контрприклад на узагальнений Linial-Nissan здається близьким? але imho theres повинен бути способом узагальнити результат 1993 року якось ... можливо, великим способом ....

— vzn

інша аналогічна ідея замість AC ^ 0, важче спростувати, була б глибина необмеженою, але загальна кількість обмежених схем воріт, обмежена якоюсь "малою" функцією, скажімо, поліном тощо ...? також afaik співвідношення між монотонними ланцюгами та коефіцієнтами фур'є не так добре відоме ...?

— vzn

дивіться також полілогоарифмічні дурні незалежності AC ^ 0 ланцюгів від braverman

— vzn

Відповіді:

Ні. Розглянемо наступну функцію на : $\{0,1\}^n$ Очевидно, що ця функція є важкою для змінного струму⁰. З іншого боку, функція майже постійна, тому майже весь її спектр Фур'є знаходиться на першому рівні.

f (x) = x_{0} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1}) .

$f(x) = x_0 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1}).$

Якщо ви хочете збалансованого контрприкладу, врахуйте Ця функція майже завжди дорівнює, тому майже весь її спектр Фур'є знаходиться на перших двох рівнях.

g (x) = x_{0} \oplus [x_{1} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1})] .

$g(x) = x_0 \oplus \left[x_1 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1})\right].$

x_{0}

$x_0$

— Юваль Фільм
джерело

Чи є у вас надійні приклади, коли функцію неможливо наблизити в AC0?

— MCH

Функція, зосереджена на перших рівнях

, завжди близька до функції в залежності від входів

, тому, якщо нас цікавлять лише рівні

, то немає надійних прикладів.

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

— Юваль Фільм

@YuvalFilmus Що означає рівень спектру Фур'є? Чому ця функція складна для

A C^{0}

$AC^0$

@Arul Рівень Фур'є складається з усіх коефіцієнтів Фур'є, що відповідають наборам заданого розміру. Ми думаємо про них як про замовлення, що збільшуються в розмірі. Щодо того, чому ця функція є важкою для AC0, це вправа. Підказка: паритет важкий для AC0.

— Ювал Філімс

Існує кілька способів зрозуміти питання відповідно до точного значення "малого розміру" та "концентрату".

1) Якщо ви розглядаєте булеві функції так, що їх норми l-2 зосереджено на малих розмірах то відповідь - ні, функція більшості є прикладом такого, що $1-o(1)$ $S$ $1-o(1)$ ${\rm AC^0}$

2) Існує теорема Бургена про те, що якщо концентрація значно вище концентрації функції більшості, то функція є приблизно Хунта, і, отже, залежить від змінних O (1).

3) Ви можете запитати, який загальний вплив, який очікується | S | по відношенню до розподілу , описаного мало. Для функцій в $\hat f^2(S)$ $AC^0$ ${\rm polylog} (n)$

$O(\log n)$ $AC^0$

$O(polylog (n))$ $n^{polylog (n)}$

— Гіл Калай
джерело