Кількість гамільтонових циклів на випадкових графах

Будемо вважати, що . Тоді відомий наступний факт:$G\in G(n,p),p=\frac{\ln n +\ln \ln n +c(n)}{n}$

$$\begin{eqnarray} Pr [G\mbox{ has a Hamiltonian cycle}]= \begin{cases} 1 & (c(n)\rightarrow \infty) \\ 0 & (c(n)\rightarrow - \infty) \\ e^{-e^{-c}} & (c(n)\rightarrow c) \end{cases} \end{eqnarray}$$

Я хочу знати результати про кількість гамільтонових циклів на випадкових графах.

Q1. На скільки очікувана кількість гамільтонових циклів на ?$G(n,p)$

Q2. Яка ймовірність для ймовірності ребра p на G ( n , p ) ?$Pr [G \textrm{ has a *unique* Hamiltonian cycle}]$$p$$G(n,p)$

Як сказав Юваль, на Q1 легко відповісти, використовуючи лінійність очікувань (спойлер: ). Я не знаю точної відповіді на Q2, але це може бути досить добре, якщо ви знаєте, що він дуже низький: для діапазону p, де є хоча б один цикл, вважається, що P [ існує більше одного циклу | є принаймні один цикл ] > 1 - 1 / n журналу n або так. Іншими словами, щойно існує один цикл, їх багато. Причина полягає в тому, що коли існує один цикл, навколо n $(n-1)!p^n$$p$$P[\text{there is more than one cycle} | \text{there is at least one cycle}]>1-1/n^{\log n}$$n^2$способи створити з нього ще один цикл, обміняючи два краї циклу двома ребрами, що перетинаються (це називається "2-фліп" або щось у відповідній літературі). Для будь-якої пари ребер шанс, що ви можете зробити, це . Отже, для всіх цих випадків не вдасться, шанс ( 1 - p 2 ) n 2, що приблизно e - ( p n ) 2 , що досить крихітно.$p^2$$(1-p^2)^{n^2}$$e^{-(pn)^2}$