Чи можемо ми порахувати глибину ?

Чи можемо ми обчислити бітовий поріг порогу за поліноміальними розмірами (необмежений вентилятор) схем глибини ? Як варіант, чи можемо ми порахувати кількість вхідних бітів за допомогою цих мікросхем?$n$$\frac{\lg n}{\lg \lg n}$

Чи ?$\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\frac{\lg n}{\lg \lg n}), O(\lg n))$

Зауважте, що . Таким чином, питання по суті запитує, чи можемо ми зберегти фактор в глибині ланцюгів при обчисленні порогових воріт.$\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime} = \mathsf{AltTime}(O(\lg n), O(\lg n))$$\lg \lg n$

Редагувати:

Як написав у своїй відповіді Крістоффер, ми можемо зберегти фактор . Але чи можемо ми зекономити трохи більше? Чи можемо ми замінити на ?$\lg \lg n$$O(\frac{\lg n}{\lg \lg n})$$o(\frac{\lg n}{\lg \lg n})$

Мені здається, що багатошаровий трюк-силовий трюк не працює для економії навіть (загалом, будь-яка функція в ).$2 \lg \lg n$$\lg \lg n + \omega(1)$

Розглянемо ланцюг вентилятора 2 глибини . Розділіть шари на блокуючи кожен з послідовних шарів. Тепер ми хочемо замінити кожен блок ланцюгом на глибині 2. А саме, кожен затвор в останньому шарі блоку залежить щонайбільше ворота останнього шару в блоці нижче. Таким чином, ми можемо замінити кожен хвірт в останньому шарі на DNF поліноміального розміру, вхідними даними є ворота в останньому шарі блоку нижче. Якщо це зробити для всіх воріт в останніх шарах для всіх блоків і з'єднавши їх, слід отримати бажану схему.$C$$O(\log n)$$C$$O(\log n/\log\log n)$$\log\log n$$2^{\log\log n} = \log n$

Зазначу, що це, по суті, найкраще, що можна отримати: лемма перемикання забезпечує нижню межу аж до глибини .$\log n/ \log\log n$