Наближеність проблеми роду

Що на даний момент відомо про наближеність проблеми роду? Попередній пошук говорить мені, що наближення постійного фактора тривіальне для досить щільних графіків, а алгоритм апроксимації $n^\epsilon$ виключений. Чи ця інформація актуальна, чи відомі кращі межі?

Найкращі опубліковані результати з'являються у статті 1997 року Джанер Чен, Сароя П. Канчі та Аркадія Каневського.

• Для будь-якого фіксованого $\varepsilon>0$ обчислення роду графа з помилкою добавки $O(n^\varepsilon)$ є NP-жорстким.

• $n$$g$$\max\{4g, g+4n\}$

• Існує алгоритм апроксимації поліноміального часу для графіків обмеженого ступеня.$O(\sqrt{n})$

Це відкрите питання, чи існує ефективний алгоритм наближення постійного фактора.

Я хотів додати до вичерпної відповіді Jɛ ff E, що, наскільки мені відомо, немає нижчих меж коефіцієнта апроксимації цієї проблеми. Наскільки нам відомо, може існувати алгоритм наближення, який завжди дає постійне наближення до коефіцієнта (навіть якщо рід дуже малий).

У статті Chen, Kanchi та Kanevsky [CKK '97] йдеться лише про те, що обчислення роду з адитивною помилкою є важким NP. Ось дуже неофіційний контур їх аргументу. Зрозуміло, що цей аргумент не може бути використаний для доведення нижньої межі коефіцієнта наближення. Розглянемо графік G такий, що NP-важко визначити, чи g e n u s ( G ) ≤ g ∗ чи g e n u s ( G ) ≥ g ∗ + 1 (для деяких$O(n^{1-\varepsilon})$$G$$\mathrm{genus}(G) \leq g^*$$\mathrm{genus}(G) \geq g^*+1$ ); такий графік існує, оскільки проблема є важкою для NP. Нехай п -число вершин в G . Нехай k - велика константа. Візьміть N = n k розрізнених копій графіка G і розгляньте їх об'єднання. Тоді в отриманому графіку G ′ важко визначити, чи g e n u s ( G ′ ) ≤ N g ∗, чи g e n u s ( G ′ ) ≥ $g^*$$n$$G$$k$$N = n^k$$G$$G'$$\mathrm{genus}(G') \leq N g^*$ . Тобто НП важко обчислити g e n u s ( G ′ ) з адитивною помилкою N = ( N n ) k / k + 1 = | V ( G ′ ) | k / k + 1 = | V ( G ′ ) | 1 - ε , де ε = 1 $\mathrm{genus}(G') \geq N(g^*+1)$$\mathrm{genus}(G')$$N = (Nn)^{k/{k+1}} = |V(G')|^{k/{k+1}} = |V(G')|^{1-\varepsilon}$ . Ця конструкція не дає нам нижньої межі коефіцієнта наближення; відношення N ( g ∗ + 1 ) до N g ∗ дорівнює відношенню g ∗ + 1 до g ∗ .$\varepsilon = 1/(k+1)$$N(g^*+1)$$Ng^*$$g^*+1$$g^*$