Ширина пропускної здатності майже кографів

(Я опублікував це питання в MathOverflow два тижні тому, але поки що без жорсткої відповіді)

У мене є питання про міри ширини графіків непрямих простих графіків. Загальновідомо, що кографи (графіки, які можна побудувати за допомогою операцій нероз'ємного об'єднання та доповнення, починаючи з ізольованих вершин) мають ширину кліпс не більше 2. (Courcelle et al. Верхні межі до ширини графіків). Тепер розглянемо декілька фіксованих невід’ємних цілих k і розглянемо клас графіків графіків таким, що для кожного G = ( V , E ) ∈ G k існує безліч S з максимум k вершин, таких що G [ V - S ] - це кографія. Оскільки графік класу $\mathcal{G} _k$$G = (V,E) \in \mathcal{G} _k$$S$$G[V - S]$ також можна розглядати як клас графіків, який можна побудувати з кограф, додаючи не більше k вершин, цей клас також називають кографами + k v .$\mathcal{G} _k$$k$$kv$

Моє запитання: що це щільна межа пропускної здатності графіків у , тобто графіки, які можна перетворити на кографію, видаливши k вершин?$\mathcal{G}_k$

Відомо, що якщо графік отриманий з Н шляхом видалення k вершин, то c w ( H ) ≤ 2 k ( c w ( G ) + 1 ) . Це показує, що якщо кограф G можна отримати з графіка Н , видаливши k вершин, то c w ( H ) ≤ 2 k ( 3 + 1 ) , а отже, і ширина швидкості графіка в G$G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (cw(G) + 1)$$G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (3 + 1)$$\mathcal{G}_k$становить щонайбільше . Я не впевнений, чи необхідна ця експоненціальна залежність від k . У цьому контексті я також був би зацікавлений у максимальному зменшенні ширини кліпів шляхом видалення вершини; тобто, якщо ми видалимо одну графіку з графіка, на скільки може зменшитися ширина кліке?$4*2^k$$k$

Я спробую відповісти на це ваше старе запитання, хоча я не впевнений, що моя відповідь є переконливою, але вона повинна направити вас у правильному напрямку.

Спершу обговоримо лінійну ширину кліки. Якщо графік має лінійну ширину клики k , а до нього додайте 1 вершину, то ця вершина завжди може бути розміщена першою у впорядкуванні з унікальним кольором. Отже, лінійна ширина кліку збільшується лише максимум на 1 при додаванні вершини.$k$$1$

У «Про взаємозв'язок між шириною НЖК та лінійною шириною НЖК» Гурскі та Ванке показали, що кографи мають необмежену лінійну ширину кліки.

Оскільки кографи мають необмежену лінійну ширину кліки, але обмежену ширину кліки, будь-яка хороша декомпозиція кліки повинна мати структуру дерева. Треба показати, що ми можемо змусити довільно багато глибоких гілок. Тепер ми робимо так, як це робимо для дерев, будуємо дерево з 2 ^ k листям додаємо k вершин і кожен лист з'єднується з унікальним підмножиною нових вершин.