Інтуїція за системами перевірки

Я намагаюся витримати документ про p-Optimal Proof Systems and Logic for PTIME . У статті є поняття під назвою систем доказування, і я не розумію:

$\Sigma = \{0,1\}$ ... Ми виявляємо проблеми з підмножинами $Q$ в $\Sigma^*$.

Я думаю, інтуїція полягає в тому, що ми кодуємо певну структуру $\Sigma^*$ (наприклад, непрямі графіки) та підмножини цих структур є проблемами (наприклад, плоскі графіки).

Система доказування проблеми$Q \subset \Sigma^*$ є суржективною функцією $P:\Sigma^* \to Q$ обчислюється в многочлен.

Тепер одна можливість сказати $\Sigma^*$це сукупність усіх можливих моделей у певній структурі (наприклад, всі непрямі графіки). Але це не має сенсу, тому що навіщо ненаправлені графіки відображати на підмножині? Це можуть бути закодовані машини для твердження, але це не має сенсу ...

Будь-які ідеї?

Подумай $\Sigma^{*}$ кодування якихось об'єктів і $Q$як сукупність усіх об'єктів, що задовольняють деяку властивість. Подумай$P$ як функція, яка приймає (кодування) пари $(x, p)$ де $x$ є об’єктом і $p$ нібито "докази" про $x \in Q$. Функція$P$ "перевірка перевірки": це перевіряє це $p$ насправді представляє вагомі докази того $x \in Q$. Якщо так, він повертається$x$, в іншому випадку він повертає елемент за замовчуванням $Q$.

Приклади, припустимо $\Sigma^{*}$ кодує графіки і нехай $Q$бути набором (кодування) гамільтонових графіків. Можлива$P$ це: декодувати введення як $(G, \ell)$ де $G$ є графіком і $\ell$ це список вершин $G$; перевірити це$\ell$ - це цикл Гамільтонів у Росії $G$; якщо так, то поверніться$G$ інакше поверніть графік на одну точку.

Ви розглянули випадок плоских графіків. Щоб отримати підходящий$P$ нам потрібне поняття про багаторазове підтвердження планарності.

Загалом вхід до $P$ не потрібно кодувати пару $(x, p)$. Важливим є те, що$P$ можна витягнути з інформації, що надходить, з інформацією: об'єкт, про який йде мова, і передбачувані докази того, що об'єкт належить $Q$. Наприклад, візьмемо як$Q$сукупність усіх речень, доказових у деякій теорії першого порядку. Тепер$P$розшифровує його вклад як формальний доказ. Якщо кодування недійсне, воно повертається$\top$. Якщо кодування являє собою дійсне підтвердження, воно повертає твердження, яке було доведено доказом (яке, ймовірно, є коренем дерева доказів, або остання формула в послідовності тверджень, залежно від того, як ви формалізуєте докази).

Вам слід подумати про вхід системи перевірки $P$ як текст доказу $\pi$ елемента $q \in Q$. Якщо текст дійсний, це$P(\pi) = q$, інакше $P(\pi)$ є деяким фіксованим $q_0 \in Q$. Ми хочемо$P$ бути політаймом, оскільки це означає, що доказ легко перевірити.

Приклади, припустимо $Q$ - сукупність пропозиційних тавтологій та $P$- це будь-яка система доказування в стилі Гільберта, яка складається з набору ліній , кожна з яких є або аксіомою, або випливає з попередніх ліній через правило деривації (зазвичай Modus Ponens). Якщо доказ дійсний, це$P$повинен вивести останній рядок у доказі. Інакше виведіть якусь фіксовану тавтологію, як-от$p \lor \lnot p$.

Повернутися до першого питання, $Q$це кодування всіх структур певного типу, що задовольняють деякій властивості. Один із прикладів - тавтології. Іншим прикладом є безліч усіх кольорових графіків, які не мають 3 кольорів, які мають систему доказів, відому як обчислення Хайоса.