Складність розпізнавання вершинно-перехідних графіків

Я не обізнаний у галузі теорії складності, що включає групи, тому я вибачаюся, якщо це добре відомий результат.

Запитання 1. Нехай - простий непрямий графік порядку n . Яка обчислювальна складність (з точки зору n ) визначення, чи G є вершинно-перехідним?$G$$n$$n$$G$

Нагадаємо, що графік є вершинно-перехідним, якщо A u t ( G ) діє транзитивно на V ( G ) $G$$\mathrm{Aut}(G)$$V(G).$

Я не впевнений, чи вказане вище визначення алгоритму поліноміального часу, оскільки може бути, що порядок є експоненціальним.$\mathrm{Aut}(G)$

Однак вершинно-перехідні графіки мають деякі інші структурні властивості, які можуть бути використані для того, щоб можна було їх ефективно визначити, тому я не впевнений, який стан вищезазначеного питання.

Ще один цікавий підклас вершинно-перехідних графіків, що має ще більшу структуру, - клас графіків Кейлі . Тож закономірно також ставити таке пов'язане питання

Питання 2. Яка обчислювальна складність визначення, якщо графік - графік Кейлі?$G$

У мене немає повної відповіді, але я думаю, що обидві проблеми відкриті.

Стаття Jajcay, Malnič, Marušič [3] стосується вашого першого запитання. Вони надають деякі інструменти для перевірки вершинної транзитивності. У вступі вони кажуть, що:

Для даного кінцевого графіка , важко визначити, чи Γ є вершинно-перехідним, і остаточна відповідь приходить, як правило, лише після значної частини повної групи автоморфізму $\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$ .

Зауважимо, що тест на вершинність на транзитивність можна зробити, перевіривши графік ізоморфізму раз. Зробіть дві копії G і G ′ свого графіка за допомогою спеціальних якорів (наприклад, доріжки довжиною n + 1 ) у u ∈ V ( G ) та v ∈ V ( G ′ ) . Існує ізоморфізм між G і G ', якщо і лише тоді, коли в оригінальному графіку є автоматичне відображення u до v $n−1$$G$$G'$$n+1$$u \in V(G)$$v \in V(G')$$G$$G'$$u$$v$ . Таким чином, ви можете перевірити чутливість вершин, фіксуючи вершину$x$, і перевірка наявності автоматизмів, які відображають $x$ до всіх інших вершин.

Також зауважимо, що якщо тест на вершинність на транзитивність можна зробити в поліноміальний час, то так само є тест ізоморфізму для вершин-перехідних графіків. Це пояснюється тим, що два вершинно-перехідні графіки є ізоморфними тоді і лише тоді, коли їх неперервне з'єднання є вершинно-перехідним. Я вважаю, що складність ізоморфізму графів для вершинних перехідних графіків не відома.

Для другого питання я знайшов частковий результат. циркулянт графік являє собою графік Келей на циклічну групу. Євдокимов та Пономаренко [2] показують, що розпізнавання графіка циркуляції може бути здійснено в поліноміальний час. Також для вас була б цікава глава книги Альспаха [1, Глава 6: Графи Кейлі, Розділ 6.2: Розпізнавання], хоча там сказано:

Ми будемо ігнорувати обчислювальну задачу визнання того, чи є довільний граф графіком Кейлі. Натомість ми завжди припускаємо, що графіки Кейлі були описані з точки зору груп, на яких вони побудовані, разом із наборами з'єднань. Для більшості проблем це не є недоліком.

1. Бейнеке, Вілсон, Камерон. Теми з алгебраїчної теорії графіків . Cambridge University Press, 2004.
2. Євдокимов, Пономаренко. Графіки циркуляції: Визнання та тест ізоморфізму в поліноміальний час. Санкт-Петербург математика. J. 15 (2004) 813-835. doi: 10.1090 / S1061-0022-04-00833-7
3. Jajcay, Malnič, Marušič. Про кількість закритих прогулянок у вершинно-перехідних графах. Дискретна математика. 307 (2007) 484–493. doi: 10.1016 / j.disc.2005.09.039