Чи можна визначити

18

Я знаю, що неможливо визначити еквівалентність для нетипового обчислення лямбда. Цитуючи Barendregt, HP Обчислення лямбда: його синтаксис та семантика. Північна Голландія, Амстердам (1984). : $\beta$

Якщо A і B є неперервними, непусті множини лямбда-термінів, які закриті під рівність, то A і B є рекурсивно нероздільними. Звідси випливає, що якщо A - нетривіальний набір лямбда-термінів, закритих під рівність, то A не є рекурсивним. Отже, ми не можемо вирішити проблему "M = x?" для будь-якого конкретного М. Також випливає, що у Ламбди немає рекурсивних моделей.

Якщо у нас є нормалізуюча система, така як система F, то ми можемо вирішити еквівалентність "ззовні", зменшивши два задані терміни і порівнявши, чи нормальні їх форми однакові чи ні. Однак чи можемо ми це зробити «зсередини»? Чи є такий комбінатор System-F , що для двох комбінаторів і ми маємо якщо і мають однакову нормальну форму, а іншому випадку? Або це можна зробити хоча б для деяких s? Побудувати комбінатор $\beta$ $E$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{true}$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{false}$ $M$ $E_M$ таким, що є істинним iff ? Якщо ні, то чому? $E_M N$ $N\equiv_\beta M$

— Петро Пудлак
джерело

19

Ні, це неможливо. Розглянемо наступні два мешканці типу . $(A \to B) \to (A \to B)$

\begin{array}{l} M = λ f . f \\ N = λ f . λ a . f a \end{array}

$\begin{array}{l} M = \lambda f.\;f \\ N = \lambda f.\;\lambda a.\; f\;a \end{array}$

Це виразні -нормальні форми, але їх не можна відрізнити лямбда-терміном, оскільки являє собою -розширення , а -розширення зберігає спостережувальну еквівалентність у чистому типізованому лямбдальному обчисленні. $\beta$ $N$ $\eta$ $M$ $\eta$

Коді запитав, що станеться, якщо ми також відмовимся від еквівалентності. Відповідь все ще негативна через параметричність. Розглянемо наступні два терміни типу $\eta$ : $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

\begin{array}{lcl} М & = & λ f : (\forall α . α \to α) . Λ α . λ х : α . f [\forall α . α \to α] (Λ β . λ у : β . у) [α] х \\ N & = & λ f : (\forall α . α \to α) . Λ α . λ х : α . f [α] х \end{array}

$\begin{array}{lcl} M & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f \;[\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha]\;(\Lambda \beta.\lambda y:\beta.\;y)\;[\alpha]\;x\\ N & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f\;[\alpha]\;x \end{array}$

Вони відрізняються -нормальною, -тривалою формою, але спостережно еквівалентні. Насправді всі функції цього типу є рівнозначними, оскільки $\beta$ $\eta$ - це кодування одиничного типу, і тому всі функції типу $\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha$ має бути еквівалентно екстенсіонально. $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

— Ніл Кришнасвамі
джерело

2

Гаразд, те саме питання з

-еквівалентність :)

β, η

$\beta,\eta$

— cody

11

Інша можлива відповідь на цілком правильну Ніл: Припустимо, що є комбінатор , добре набраний у системі F таким чином, що зазначена вище умова виконується. Тип : $E$ $E$

E : \forall α . α \to α \to b o o l

$E : \forall \alpha.\alpha\rightarrow \alpha\rightarrow {\bf bool}$

Виявляється, існує теорема безкоштовно, яка виражає, що такий термін обов'язково є постійним :

\forall T, t, u, t^{'}, u^{'} : T, E T t u = E T t^{'} u^{'}

$\forall T,\ t,u,t',u':T,\ E\ T\ t\ u = E\ T\ t'\ u'$

$E$

— коді
джерело