Чому нижня межа для булевих схем не передбачає арифметичних схем нижніх меж

Моє запитання: чому нижні межі для глибини 3 булевих ланцюгів із воротами "та" та "xor" для визначника не означають однакових нижчих меж для арифметичних схем над ?$\mathbb{Z}$

Що не так у наступному аргументі: Нехай - визначальний коефіцієнт обчислення арифметичної схеми, тоді, взявши всі змінні mod 2, отримаємо визначальний коефіцієнт обчислення булевої схеми. $C$

Для арифметичних схем над ваш аргумент абсолютно правильний. Цей же аргумент працює для арифметичних схем над які не використовують жодних дробів де є парним.$\mathbb{Z}$$\mathbb{Q}$$a/b$$b$

Однак аргумент більше не працює, якщо говорити про арифметичні схеми над іншими кільцями, наприклад: загальні арифметичні схеми над (тобто без обмеження вище), , поля алгебраїчних чисел, або кінцеві поля з .$\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$$\mathbb{C}$$\mathbb{F}_{q}$$q \neq 2$

(Це по суті та сама причина, що в алгебраїчній геометрії часто розглядають так звану "змішану характеристику", а не характеристичну нуль.)$\mathbb{Z}$

Однак нижні межі глибини 3 булевих ланцюгів для схем з {AND, АБО, NOT} менш легко пов'язані з нижніми межами для арифметичних схем над . (Так, {AND, XOR} - це повна основа, але, як правило, на 3 ланцюги глибиною понад {І, АБО, НЕ}, ви вважаєте, що ворота НЕ є вільними, тоді як впроваджуючи НЕ з XOR, ви використовуєте ворота XOR, на які ви насправді рахуєте Аналогічно, хоча , коли ви реалізуєте цей єдиний АБО ворота з AND і XOR, ви отримаєте невеликий гаджет глибиною 3.)$\mathbb{Z}$$a \vee b = \neg (\neg a \wedge \neg b)$

Загальне твердження: нехай - многочлен з коефіцієнтами в кільці , і припустимо, - кільцевий гомоморфізм. Застосовуючи до кожного коефіцієнта ви отримуєте многочлен з коефіцієнтами в , який я . Тоді нижня межа для обчислення по арифметичним схемам передбачає ту саму нижню межу для обчислення за -арифметичними схемами.$f$$R$$\varphi\colon R \to S$$\varphi$$f$$S$$f_S$$f_S$$S$$f$$R$